数形结合思想在解题中的应用

马力

摘 要：数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。数形结合方法的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。这里的“数”指数学术语、数学符号、数学公式及用语言文字表现的数量信息和呈现方式；“形”不仅仅指几何图形，还包括各类图像、实物类教学资源等形象材料，以及用这些材料呈现数学信息的方式。

关键词：数形结合；以数助形；以形助数

数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简单。所谓“数形”结合就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化，能从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。

用数形结合的思想解题可分两类：

类型之一 “数”到“形”的思想应用（以形助数）

题型一：数形结合思想在不等式组中的应用

例1（实数与数轴上的点的对应关系）求不等式组的整数解。

解析：解不等式1得x<2

解不等式2得x≥-1

∴原不等式组的解集为：-1≤x<2

结合数轴，直接可以读出不等式组的整数解为-1，0， 1

题型二：数形结合思想在逻辑推理题中的应用

例2：某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球却不喜欢乒乓球的人有

解：画出韦恩图

此题可以利用韦恩图，通过数形结合的思想使得题目更加直观形象化，简单化，便于解题。

题型三：数形结合思想在函数中的应用

例3：“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m

A . m

解析：根据题目中的要求，可以得出：若m、n（m

二次函数也好，一次函数也好，甚至是反比例函数，都可以结合图形使问题直观化，复杂问题简单化，体现了数形结合思想和转化思想。

题型四：数形结合思想在恒等证明中的应用

例4：已知x、y、z都是正数，且x2+y2=z2， z= x2 求证：rz=xy

解析：可以构造直角三角形，如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

不妨设AB=y，BC=x，AC=z，BD=r，利用勾股定理可以得出AB2+BC2=AC2，即x2+y2=z2 ，结合射影定理BC2=AC·CD，即 z= x2 ，再结合三角形的面积计算方法，可以得出结论rz=xy，从中说明很多恒等式可以结合几何图形，能使问题的数量关系变得明显，推理变得轻松，书写变得简洁。（涉及到与平方有关的恒等证明，可以构造出与之对应的三角形或者圆。）

类型之二 “形”到“数”的思想应用（以数助形）

题型五：数形结合思想在几何证明题中的应用

例5：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，求证：∠A=2∠E

解析：此题可以用代数的方法解决几何问题，设∠ABE=∠EBD=a ， ∠ACE=∠ECD=b ，∠A=y，∠E=x，列出方程组得出y=2x，即∠A=2∠E，本题通过三角形的外角构造方程组，不是求方程组的解，而是利用未知数之间的关系达到解决问题的目的，从而使问题简单化。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。用我国著名的数学家华罗庚的一首词来总结就是： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体， 永远联系，且莫分离。