一类随机恒化器模型的平稳分布

朱春娟

（韶关学院数学与统计学院广东韶关512005）

一类随机恒化器模型的平稳分布

朱春娟

（韶关学院数学与统计学院广东韶关512005）

考虑了一类受到环境中噪声影响而建立的一类具有Holling II型功能性反应函数的随机恒化器模型.通过构造随机Liapunov函数，借助伊藤公式，根据Hasm inskii定理说明了模型平稳分布的存在性.

恒化器；随机；伊藤公式；平稳分布

恒化器是实验室中对微生物连续培养的一种实验装置［1-2］,实验人员可以通过控制对其营养物的输入和稀释率来研究微生物的增长规律.恒化器有很多优点，应用及其广泛，许多学者在恒化器的动力学建模和分析上做了很多工作，并取得了丰富的结果［3-5］.

1　模型的建立

最简单的具有Holling II功能性函数的单个微生物在一种限制性营养物质中培养的恒化器模型如下：

其中S(t),x(t)分别为t时刻营养和微生物的浓度，且所有参数均为正常数，为输入营养的浓度，D为稀释率，m为微生物的最大增长率，a为半饱和常数.得失相当常数.当时，模型（1）只存在微生物绝灭平衡点，并且该平衡点是全局渐近稳定的；λ＜S0时，模型（1）又存在唯一的正平衡点，并且该平衡点是全局渐近稳定的，而此时绝灭平衡点是不稳定的.

现实中，微生物的培养不可避免地受到环境噪声的干扰，所以建立如下随机环境下的恒化器模型：

其中B(t)为标准布朗运动，σ为噪声的强度.

2　平衡分布的存在性

定理1假设当λ＜S0时,若σ2＜D，并且满足则随机模型（2）的任意具有正初值的解(S(t),x(t))存在平衡分布.

证考虑下面的Liapunov函数：

由于σ2＜D，所以V是正定的.由伊藤公式可得：

且：

所以：

（2）当(S-S*)(x+x*)＜0时，且S＞S*+4x*时，有因为，则

（3）当(S-S*)(x-x*)＜0时，且S≤S*+4x*时，有：

综上可得：

记椭球体：

［1］Monod J.La technique de culture continue，theorie et applications[J].Ann Inst Pasteur，1950（79）：390-410.

［2］Novick A，Szilard L.Description of the chemostat[J].Science，1950（112）：215-216.

［3］王凯，滕志东.一类具有营养液循环的脉冲注入恒化器模型的动力学研究[J].生物数学学报，2014，29（2）：199-216.

［4］凌志超，张天四.恒化器中一类具有非常熟消耗率微生物培养模型的定性分析[J].上海理工大学学报，2012，34（4）：373-376.

［5］阮世贵.恒化器模型的动力学[J].华中师范大学学报（自然科学版），1997，31（4）：378-397.

Stationary Distribution of a Stochastic Chem ostat M odel

ZHU Chun-juan
（School ofMathematicsand Statistics，Shaoguan University，Shaoguan 512005，Guangdong，China）

This paper discusses a stochastic chemostat model with Holling II functional response by considering the influence of the noise in the environment.By constructing stochastic Liapunov function and using Ito’s formula，it shows that the existence of the stationary distribution of themodel according Hasminskii theory.

chemostat;stochastic;ito’s formula;stationary distribution

O152.7

A

1007-5348（2016）08-0001-03

2016-06-08

2014年韶关市科技与计划项目（2014CX/K231）.

朱春娟（1982-），女，江苏南通人，韶关学院数学与统计学院讲师，硕士；研究方向：生物数学.

（责任编辑：邵晓军）