初中函数教学“三部曲”

2016-12-15 05:03王鸾
中学教学参考·理科版 2016年9期
关键词:函数教学三部曲数形结合

王鸾

[摘 要]函数教学之难,难于概念的理解,难于性质的掌握,难于实际问题的解决.本文以生活实例厘清概念、以数形结合掌握性质、以数学模型解决问题等方面提出初中函数教学的有效策略.

[关键词]函数教学 概念 数形结合 函数模型

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号] 16746058(2016)260008

函数内容抽象难懂,没有固定的方法解题.初中生脱离具体对象进行分析,考虑问题时往往割裂了数形之间的联系,不能理解函数与方程之间的内在联系,不能建构函数模型解决实际生活中的问题.

一、引入生活实例,感受函数概念的形成过程

学生往往受负迁移的干扰,凭借自身的“经验”下结论,对函数的概念理解出现偏差.抽象的函数概念依附于具体的生活实例,教师要遵循学生的认知规律,从具体到抽象,从表象到规定,引领学生从生活经验入手,感知生活世界事物间存在的关系.教师要引导学生关注生活中的函数,以函数去解决实际问题,从而激发兴趣,开启思维,逐渐实现从感性的生活经验走向理性的数学思想.如在“一次函数”教学中,教者呈现问题:“小华暑假期间去上海旅游,汽车行驶上高速公路后平均速度为100千米/小时,已知徐州到上海的高速公路全程为590千米,小华想知道汽车从徐州出发后,距上海的路程与汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系.”学生通过阅读、画示意图、分析,得到汽车距上海的路程(s)=徐州到上海的距离(590)-汽车行驶的路程(100t),即s=590-100t.从而运用自变量表示的函数关系引出一次函数的概念.

数学源于生活,生活中有很多学生熟知的实例便于学生理解函数关系.如用“西瓜的单价一定,买西瓜的斤数与支付的钱之间的关系”引出正比例函数.“将一张面值100元的人民币换成50元的人民币,可得几张?如果换成面值20元的,可得几张?如果换成10元的呢?所换成的面值x元与张数y之间的函数关系”引出反比例函数.“某商店4月份的利润是3万元,5、6月份利润逐月增长,6月份的利润与这两个月利润的月平均增率x之间的函数关系”引出二次函数.学生看待问题的角度也不尽相同,教师要留有让学生讨论交流的机会,让他们逐渐靠近概念理解本质.

二、注重数形结合,依据图像分析函数的基本性质

“数无形时少直觉,形无数时难入微.”函数解析式表示两个变量间的对应关系,而图像描述变量与函数值间的变量关系反映函数的变化规律.将数的精准与形的巧妙结合起来,引导学生挖掘其内在的几何意义,运用数学的视角发现问题,能由数思形、见形思数,提高数形转化的能力.

如“一次函数的图像”一课的难点是“一次函数的图像与性质”.教者让学生绘制y=2x、y=2x+4、y=x-2、y=-x+1、y=-1/2x、y=-3/2x-3的图像,观察这些图像,发现有何特点?这些图像分别经过哪些象限?有什么共同的地方?与哪些量有关?学生通过观察、对比、讨论,归纳出函数中y=kx+b中k、b的值对图像经过象限的影响,当k>0时,函数图像经过一、三象限;当k<0时,函数图像经过二、四象限;b>0时,函数图像经过一、二象限;b<0时,函数图像经过三、四象限.教者将函数y=2x、y=2x+4的图像进行对比,学生会发现两条直线互相平行,从而猜想当k值相等时,两个一次函数的图像是相互平行的两条直线.

又如在“二次函数的图像和性质(1)”教学中,学生通过列表、描点、连线画出二次函数y=x2的图像,学生在观察图像的基础上,提出问题:“你能描述图像的形状吗?图像是轴对称图形吗?如果是,对称轴是什么?尝试找几对对称点.图像与x轴有交点吗?如果有,交点是什么?当x<0时,随着x的增大,y随x如何变化?当x为何值时,y值最小?最小值是多少?”教师在教学中并不生硬地“灌输”结论,而是让学生运用右脑构造图像,在理解的基础上掌握二次函数的图像特征.

三、借助数学模型,解决生活实际问题

一次函数、反比例函数、二次函数与现实世界紧密相连,在实际生活中有着广泛的应用.教师要引导学生将实际问题转化为数学问题,抽象成数学模型,经过推理分析求解,然后再还原为实际问题的解.如某服装卖场销售一批品牌裤子,平均每天可售出20件,每件可盈利40元,为扩大销售,减少库存,增加盈利,卖场决定采取适当的降价措施,通过调查,如每件裤子每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若卖场平均每天要盈利1200元,每件裤子应降价多少元?(2)每件裤子降低多少元时,卖场平均每天盈利最多?

在此题中,学生可以设每件裤子应降价x元,那么每件售价为(40-x)元,可以销售(20+2x)件,由此可以列出方程(40-x)(20+2x)=1200解决第(1)个问题,求得两个根x1=20,x2=10.为尽可能“减少库存”,就须“降”的多,因而取x=20.在第(2)题中,每天赢利y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800,当x=15时,有最大值.学生通过求二次函数最值解决实际问题中的最大利润问题,体会二次函数是最优化问题的数学模型之一,感受其应用价值.

(责任编辑 黄桂坚)

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