细品考试说明 落实能力培养

胡振宇

(江苏省海安县实验中学，226600)



○高考之窗○

细品考试说明 落实能力培养

胡振宇

(江苏省海安县实验中学，226600)

一、问题的提出

《江苏高考考试说明》明确指出，高考命题中突出数学对基础知识、基本技能、基本思想方法的考查;重视数学基本能力和综合能力的考查;注重数学的应用意识和创新意识的考查．作为一线教学的教师应当在平时的教学中加强对学生思维的训练,积极引导学生主动参与,敢于探索,积极创新．

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题．更多的高中学生喜欢刷题,而刷题的优势是常规化题目能够比较熟练,劣势就是缺乏对问题的深入思考,尤其是遇到一个新问题,用熟悉的题型去“套”的思维也许有一定的效果,即仅仅满足于解出来,而对本题所涉及数学思想、数学方法理解不够透彻,因而不能融会贯通．只有深入思考才能提出新看法、巧解法．近几年江苏高考试题重视对于数学思想方法的考查,尤其突出考查学生的能力．我们教师在平时的教学中要立足教材，有意识地引导学生学会观察、思考,培养学生应用数学思想方法去分析问题和解决问题,提高学生的数学素质．本文就教学中一个案例，引导学生积极探索，以期抛砖引玉.

二、案例与探索

案例 若正实数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围．

视角1 等式转化为不等式

利用不等式将题目中的等量关系转化为关于ab或a+b整体的不等式,再通过解不等式求出ab或a+b的取值范围．

结合a、b为正实数, 解得ab≥9，当且仅当a=b=3时取等号.

所以ab的取值范围是[9,+∞).

化简得(a+b)2-4(a+b)-12≥0.

因为a、b都是正实数,所以a+b>0，解得a+b≥6,所以ab=a+b+3≥9，当且仅当a=b=3时取等号.

所以ab的取值范围是[9,+∞).

视角2 函数视角:“二元”化“一元”

本题属于二元函数的值域问题,题目所给的条件揭示了两个正的变量a、b之间的关系,可以化”二元”为”一元”,即转化为求一元函数的值域问题．

因为a，b都是正实数,所以b>1，

所以ab的取值范围是[9,+∞).

因为a、b都是正实数,所以b>1.

令y′=0，得b=3.当13时y′>0，所以当b=3 时y取得最小值9.

所以ab的取值范围是[9,+∞).

视角3 利用条件式结构巧妙构造

解法5 由已知条件,得

(a-1)(b-1)=4.

易知a-1>0，b-1>0，所以

(a-1)+(b-1)

当且仅当a-1=b-1时取等号.

结合已知条件 ab=a+b+3,解得a=b=3，所以a+b≥6,ab=a+b+3≥9.

所以ab的取值范围是[9,+∞)

解法6 由已知条件，得

(a-1)(b-1)=4.

易知a-1>0，b-1>0.

当且仅当t=1即a=b=3时取等号．

所以ab的取值范围是[9,+∞)

解法7 由已知条件ab=a+b+3，得

a+b=ab-3.

因为a、b都是正实数,所以ab-3为正实数.

关于x的一元二次方程x2-(ab-3)x+ab=0有正实数根，所以有

解得 ab≥9.

所以ab的取值范围是[9,+∞).

当且仅当a=b时取等号,因为ab>3 解得ab≥9.

所以ab的取值范围是[9,+∞).

三、解题小结

本题审题过程中主要采用了上面介绍的三个视角，通过将问题进行转化，通过变形、构造、消元和基本不等式将问题进行转化，使问题获得了解决.由此我们看到，在解决这类问题时应该注意如下一些方面：

(1)利用基本不等式和重要不等式求取值范围时,尤其要注意将等量关系转化为不等关系．通过解不等式求出取值范围．解法1和解法2将条件中的等量关系转化为关于未知量(或其关联量)的不等式,通过解不等式求出有关取值范围，体现了数学中的等价转化思想．

(2)在解题中应抓住已知等量关系,通过降维(消元)将多元取值范围问题转化为一元取值范围问题，这体现了数学中的函数与方程思想．解法3是典型的分式函数求值域问题；解法4以导数为工具求函数的值域，更加具有一般性．

(3)抓住结构,巧妙构造．解法5通过参变分离,构造出应用均值不等式的定值条件;

解法6抓住结构巧妙换元,实现知识与方法的合理迁移;

解法7构造一元二次方程有正实数根,整体求出ab的取值范围．

解法8抓住结构构造等差数列,结合放缩法得到关于ab的不等式求解．

(4)第二类消元的方法为通用方法．其它方法都是特殊方法．在实践操作中应甄别算法,提升运算能力．提高运算求解能力的关键不仅仅是细心,更重要的是思考算理,当然,一些常见的方法,如换元、消元等能有效简化运算,提高运算效率,必须在学习中去思考．学习中要重视计算,比较不同的算法,最终提高运算的准确性和速度．

四、教学反思

一道经典题,经过分析、再思考,立足于不同的视角,有多种不同的解法,解法是自然的,让人回味,发人深省,同时也为今后的数学教学指明了思考的方向．

1. 既重结果、更重过程

新课标强调学生的积极参与,强调学生的体验,强调知识的发生、发展过程．在解题教学中,不仅要关注学生解题结果的正确与否,而且还要让学生展示他们的思维过程.特别是对那些学生易错、易漏、不严谨、欠规范或对知识的理解出现偏差或错误的要害处,我们更要让学生去体验．平时的教学中,教师要让学生充分“暴露”他们的错误,通过引导、交流、讨论,让学生在思维的碰撞中,既能知错、又能改错,引导学生认识和比较各种思路的优劣,解法的长短,和学生一起探求最优解法和通性通法．让学生主动参与,积极思考,在体验中享受成功的喜悦．

2.既重知识、又重能力

新课标强调“注重提高学生的数学思维能力”.对学生一生的影响中,最有用的不仅是数学知识,更重要的是数学思维能力. 因此我们在教学中不仅要重视知识的形成过程,还要在数学知识发生过程中重视挖掘它所蕴藏的重要思想方法,提高学生分析问题、解决问题的思维能力．重知识,还表现在解题教学中引导学生思考知识间的逻辑联系,培养学生类比、想象、抽象概括的能力,在通过寻找知识内部联系看本质,进而把握问题的本质,探索到合理、高效的解题方法．这样将知识学透 、方法精通、能力升华三者有机结合起来,我们的教学才更加高效.

3.轻技巧，重通法

高考是对学生数学思维能力的检验,高考试题计算量偏大,要求学生在规定时间内完成．对于多数学生而言,时间是最宝贵的,掌握一定的解题技巧也是有必要的．但技巧的背后往往有一定的局限性和偶然性,有时难以在短时间内想到．因此我们平时的教学中,我们更应引导学生如何去分析思维的起点在哪里,突破口又在哪里. 注重知识间的逻辑联系,讲通法,但更重视这些方法背后所蕴含的最基本的数学思想方法(如本题中所涉及到的消元的方法、函数与方程的思想、化归的思想等),让通性通法成为学生思维的主旋律,而技巧只是辅助思维的调味品．

4.知差异 重个性

新课标要求教师要认识学生间的差异,关注学生个性的发展．教学中如何让所有学生都能吃饱,又能让优秀学生吃得好,需要教师及时与学生沟通,了解学生的困惑,适时调整自身的教学策略．让每一位学生学习能力和思维能力都有大幅度的提升是我们教师关注的焦点和热点．数学的应用意识的培养要求学生能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造数学模型,将一些简单的实际间题转化为数学间题,并加以解决,创新意识的培养要求学生能够综合,灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题,这些都要我们教师在平时的教学中有意渗透,积极积累．