“月上柳梢头，人约黄昏后”的数学解释

侯阔林

黎明职业大学公共教学部，福建泉州，362000



“月上柳梢头，人约黄昏后”的数学解释

侯阔林

黎明职业大学公共教学部，福建泉州，362000

对“月上柳梢头，人约黄昏后”的天文含义进行了研究，调查了大量的历法和天文数据，比如月食、各地的日落时刻等。通过定义月亮的角度、黄昏后的时刻、日期序数和基准分差，对数据进行一元线性回归分析、多元回归分析，建立月上柳梢头、人约黄昏后的函数模型。函数揭示，月亮每天自西向东偏移12.191°，月上柳梢头大约发生在某个阴历十五左右，而日落时刻与日期呈多项式函数关系，与经度呈线性关系，与纬度呈三角函数关系。计算结果表明，函数是有效的。通过联立方程组，使用数学软件预测了北京地区将在2016年2月21日18点23分前后出现黄昏后月上柳梢头的特殊自然现象。

月相；历法；数据处理；回归分析；方程组

“月上柳梢头，人约黄昏后”出自欧阳修笔下的《生查子·元夕》，它描述一幅美好的画面——在元宵佳节的花市，黄昏后，当一轮明月升起在树梢头时，与佳人相约，两情相悦。现代人会从很多不同的角度来鉴赏这首词，除文学、美学和历史等角度之外，考虑到“月上柳梢头，人约黄昏后”是一个特殊的现象，应该只会发生在某些特定的日期和时刻，还可以根据天文学的基本知识，使用数学方法来研究此现象。

1 问题的提出与假设

“月上柳梢头”和“人约黄昏后”是两个不同的自然现象，为确定它们同时发生的时间，需要解决以下问题。

问题一：定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和“黄昏后”的具体时刻；

问题二：根据天文学基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期和时间，并根据已有的天文资料验证所建模型的合理性；

问题三：说明如何使用所建立的模型作预测，举例分析2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时刻。

为方便起见，作如下假设：

(1)假设以地球为参照物，由于地球自转，看到太阳和月亮东升西落；

(2)假设月球绕地球运动时，角速度是均匀的，绕地球一周需29.53天；

(3)若月亮升起时发生月食，假设观测到月亮升起的角度是0°；

(4)假设地球绕太阳运动时，角速度是匀速的，绕地球一周围需365天；

(5)假设日期相同、经度相同、纬度递减的日落时刻越晚。

本文中将使用以下符号：w0表示月球绕地球公转的相对角速度(rad/h)；θ表示月球上升的角度(rad/h)；Δt表示从日落到天黑所经过的时间；x表示日期序数，即一年的第x天；ω表示月亮升起时的角度；t表示日落时刻；y表示基准分差，即实际日落时刻与18:00的分差；T表示天黑时间；i，j表示经度和纬度。

2 问题一的求解

2.1 月上柳梢头

由词意可知，“月上柳梢头”是指在元宵节时，月亮升起时挂在柳梢头。阴历十五前后，月亮大约出现在东方地平线上方，问题是“柳梢头”这个角度是多少呢？简单地看，这个角度可以用眼睛、树梢和月亮三点的连线与地平面的夹角来定义，但是“月上”是一个模糊词，月亮何时开始在空中出现，角度如何？有很强的主观性。根据天文知识分析此问题，将更为客观。通过月球绕地球公转的角速度w月公以及地球自转的角速度w地自，可以求出月球绕地球公转的相对角速度[1]，进一步解出月球从地面升上去的角度。

因为月球的公转与地球的自转方向相同，所以其相对角速度为：

w=w地自-w月公≈14.464rad/h

姜益欣指出，月亮出现的时刻，应该介于刚刚天黑的时间t1与完全天黑t2的时间之内[2]。据此，可以计算出这段时间月球转过的角度为：

θ∈(t1·w0,t2·w0)

考虑到阴历十五前后，月球、地球和太阳基本处于一条直线上(一般稍有偏差，若完全在一条直线上会发生月食)。而月亮从模糊到清晰的过程，它转过的角度θ∈(7.232°,12.053°)。“月上”是月亮出现的意思，角度应在7.23°～12.05°之间。月上柳梢头取多少度有一定的主观性，考虑到古人有日上三竿的说法，大概是早上8点前后，过太阳和眼睛的直线与地平面夹角约为30°。而柳树较低，定义“柳梢头”为θ=9°。

定义1 “月上柳梢头”指眼睛、柳梢头和月亮三点一线，和地平线的夹角为9°。

2.2 人约黄昏后

黄昏是指日落以后天黑以前的时候[3]， 由于天黑是渐变的，黄昏也是一模糊词。 在天文学上，天黑的标准定义为太阳位置低于地平线12°30′，即日落一段时间后[4]，才是天黑时间。这段时间也随着纬度不同而长短不同。因为太阳与地球的夹角每天都在变化，哪怕在同一地点，每天的日落时刻都稍有不同，但差别不大。以北京天安门为例，冬至日，天黑时刻在日落时刻之后28分钟，夏至日，天黑时刻在日落时刻之后30分钟，相差仅两分钟。百度百科中，“天黑”是指太阳落入水平线下后过30分钟为天黑，事实上，此时天还没有完全黑，称之为朦影。可以验证，完全天黑为日落后50分钟。

考虑到地球的自转速度：

则地球转过12.5度所用的时间为：

=50 min

考虑到“月上柳梢头”，朦影时即会月现，所以定义黄昏后为：

定义2 称天刚黑的时候为黄昏后，具体时刻取日落往后数第30分钟。

3 问题二的求解

3.1 月出时刻的角度函数

每天，月亮在星空中自西向东移动一段距离的同时，它的形状也在不断地变化着，这就是月亮位相变化，叫作月相。从地球的某个固定地点观测，月球每天在空中自西向东移动多少距离不好衡量，但是，观测者的眼睛和月亮的连线，与水平面的夹角变化是可以度量的。为方便起见，假设月球绕地球作匀速圆周运动，运动周期为29.53天。考虑到月相周期与阴历关系密切，下面对月相的研究均使用阴历日期。自阴历的初一起，月亮每天自西向东偏移12.191°(360°除以29.53°)，现在的问题是，坐北向南看，哪一天这个夹角刚好为0°呢？

在阴历十五或十六，月亮运行到和太阳相对的方向。这时，如果地球和月亮的中心大致在同一条直线上，月亮就会进入地球的本影，而产生月食。假设在发生月食这天月亮在东方地平线上升起，和地平面的夹角为0°[5]。根据天文资料,2015年4月4日在月亮刚升起后，北京发生了月食。设2015年4月4日(阴历乙未二月十六)观测到的月亮升起时和地平面夹角为0°。基于此研究月亮的每天升起时的角度，传统的日期格式，如2015年9月12日，作为变量不利于数学计算。设定一年为365天，1月1日为整数1，1月2日为整数2，如果没有闰年，12月31日为365等。

定义3 日期序数：以某日期为第1天(一般取元旦)，随后的第x天，称为日期序数x。

月亮每天自西向东偏移12.191°，则可以使用数学软件计算阴历二月、三月时观测到的角度，结果见表1。

表1 2015年阴历二、三月份的月亮角度

根据表1可知，二月份时，月亮的角度ω与日期序数有如下函数关系：

ω=-12.191x+1146

而三月份时，有如下关系：

ω=-12.191x+1506

两者斜率系数相同，而截距系数不同，可见截距系数与x相关。根据月球运行周期为29.53天，得到2015年北京地区月亮升起时的角度ω与日期序数之间的函数关系为：

(1)

3.2 有关日落时刻的函数模型

3.2.1 有关日落时刻的天文学知识

根据生活经验，日落时刻和地理位置、四季更替有关，即每一天的日落时刻都稍有不同，一个地方的经纬度也影响日落时刻。取日期序数、经度、纬度为自变量，分析它们之间与日落时刻存在的关系，可以建立函数模型。

首先，确定日期变量的度量方式。为了与阴历统一，同样将日期转化日期序数。

其次，确定时刻变量。为分析方便，将日落时刻精确到分，比如18:54:15精确为18:54分。在格式上，取18:00为基准，小于18:00的分钟数记为负数，大于18:00的分钟数记为正数。如15：43分记为-17，19:02分记为62等。

定义4 基准分差：将日落时刻与18:00：00的分钟差称为基准分差。

分析历史数据发现，不同年份的同一地点、同一日期的日落时刻基本相同。天文学上，地球绕太阳公转一周需要365.25天，表明日落时刻函数是周期函数，最小正周期为365.25天。因此，假设日落时刻不以年份为自变量。

3.2.2 日落时刻与阳历日期的关系

考虑到问题三要研究北京市的相关问题，在此选择北京市作为观测地点。随机抽取了2014年的部分数据，数据来源于网上的万年历。将日期转化为2014年的第x天，并计算基准分差，得表2。

表2 2014年北京市日落时刻表

需要确定日落时刻与天数的函数关系。确定两种或以上变量间相互依赖的定量关系的统计分析方法通常采用回归分析[6]。它基于观测数据建立变量间适当的依赖关系，来分析数据内在规律，可用于预报、控制等问题。使用数学软件，可以作出基准分差随天数变化的散点图(图1)。

图1 日落时刻随时间变化的散点图

观察散点图，猜想基准分差与日期的关系式是多项式函数。考虑到趋势线弯曲程度以及春分到秋分和秋分到春分的对称性，可以设为4次或者6次多项式函数，使用数学软件作回归分析，4次多项式函数为：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4

(2)

其相关系数的平方R2=0.9926。六次多项式为：

y=-68.04455+1.930536x-0.027991x2

+0.000367x3-0.0000021x4

+4.97×10-7x5-4.11×10-12x6

(3)

其相关系数的平方R2=0.999165。

尽管函数(3)的拟合优度更好，但是其5次和6次系数过于复杂。函数(2)拟合优度也很好，并且较为简单，便于实际应用，因此选用函数(2)。日落时刻可以通过基准分差计算：

3.2.3 日落时刻和经度的关系

日落时刻和经度的关系是非常浅显的[7]，即和时区有关。考虑到我国在东半球，仅研究日落时刻与东经度数的关系。选取相同日期，与北京纬度相同但经度不同的地点，观察其日落时刻，得到表3。

由表3可知，相同日期与北京相同纬度的情况下，日落时刻基准分差与经度大致呈线性关系。作一元回归分析可得：

y=-4i+406.63

则经度为i的地方日落时刻基准分差与北京的关系为：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(4)

则t=18.00+[-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)/60]

表3 相同日期下与北京经度不同、纬度相同的日落时刻表

3.2.4 日落时刻与纬度的关系

由地理学知识可知，当太阳直射北半球时，位置越北昼长越长，日出时间早，日落时刻晚。当地球直射南半球时，南半球纬度越高，日出越晚，日落越早。考虑到我国的地理位置，本文只考虑北半球的情况。

选取与北京的日期相同、经度相同、纬度不同的地点。观察日落时刻，得到表4。

表4 与北京纬度不同的地方日落时刻表

表4显示，不同纬度的日落时刻，呈现的规律性受日期序数的影响，大致呈三角函数关系[8]。基于此，作一元线性回归，得日落时刻基准分差的计算公式：

y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2

-0.0001x3+1.94×10-7x4-4(i-116.408)

(5)

则日落时刻与日期、经度和纬度的关系为：

+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4

-4(i-116.408)+(i-39.904)

(6)

为验证计算公式的正确性，分别计算北京、哈尔滨、上海、武汉、广州、兰州、乌鲁木齐、昆明、拉萨等地2014年不同日期的日落时刻，将计算结果与往年天文数据进行了比较，如表5所示。

表5 计算结果与往年数据的比较

计算结果与天文年历中日出日落时刻最多相差2分钟，可见公式(6)是有效的。

4 问题三的求解

综上所述，可以得出“月上柳梢头”发生的日期和“人约黄昏后”发生的时刻满足如下方程组模型：

(7)

其中：

时间T的整数部分为时，小数部分可以转化为分，比如19：20，表示19时12分。

根据(7)，可以计算2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的时间。

通过分段函数的计算[9]，得x=418.095，即2016年的第52天，对应日期是2月21日，即阴历的正月十四。

然后，使用公式(2)：y=-47.3113-0.2155x+0.0237x2-0.0001x3+1.94×10-7x4，确定落日基准差y=-7.07，则日落时刻约为t=17:53分，而天黑时间T=t+30=18:23分。

北京地区在2016年会出现“月上柳梢头，人约黄昏后”，发生的日期和时间为阳历2016年2月21日18:23。

5 模型评价

为研究方便，应抓住问题的主要因素，忽略次要因素，再作规范假设。模型应用于实际生活时，可能会有一些细小的误差。模型巧妙的设定日期序数，统一了阳历日期和阴历日期。使用回归分析的方法，研究了月出时间与阴历日期的关系、日落时刻基准差与阳历日期、经度和纬度的关系，利用这些函数关系可以确定一个地方“月上柳梢头、人约黄昏后”发生的具体日期和时间。验证表明，模型与历史数据是吻合的，由此推算的近期时间是可靠和准确的。本文是数学模型在天文学和日常生活中的应用，不仅有助于研究此自然现象，也拓宽了数学模型的应用领域。

[1]帕特里克．月球的故事[M]．马星垣，译.北京：北京理工大学出版社，2005：11-15

[2]姜益欣.模糊时间词“黄昏”的多角度考察[J].艺术科技，2015(2)：140

[3]中国社会科学院语言研究所词典编辑室．现代汉语词典[M]．5版．北京：商务印书馆，2005:600

[4]王国安.太阳高度角和日出日落时刻太阳方位角一年变化范围的计算[J].气象与环境科学，2007(9)：161-163

[5]曲安京.中国古代的月食时差算法[J].自然科学史研究，2008(7)：301-305

[6]戎笑，于德明．高职数学建模竞赛培训教程[M]．北京：清华大学出版社，2010:79-87

[7]包财花．高中地理教材中数学知识的研究[D]．呼和浩特：内蒙古师范大学研究生院，2013：32-35

[8]张巧娟，李虹，刘立群，等．基于日地运行理论的太阳运动模拟平台的设计[J]．太阳能，2015(1)：51-61

[9]徐金明，徐金明，张孟喜，等．MATLAB实用教程[M]．北京：清华大学出版社,北京交通大学出版社，2005:218-223

(责任编辑：汪材印)

2016-08-30

黎明职业大学博士科研启动基金“福建省与东盟能源合作机制研究”。

侯阔林(1983-)，安徽萧县人，硕士，副教授，主要研究方向：最优化理论及其应用。

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.11.024

O242

A

1673-2006(2016)11-0089-05