台湾数学研究现况（中）

于昕涛++张涛

数学分析

目前岛内数学分析领域的研究活动，大致可分为四大类，即古典分析、泛函分析、调和分析、非线性分析与凸分析。台湾学者在古典分析领域主要研究方向有：不等式理论、可和性理论、逼近论、特殊函数论和复变数函数论等。

其中，对不等式理论方面涵盖各种不等式的研究，包括Hardy不等式、Carleman不等式、Hilbert不等式、Holder不等式、Young不等式、Minkowski不等式、Jensen不等式、Tchebychef不等式及其它形式不等式的探讨已有很长一段的研究历史。目前沿可和性理论方向发展的研究包括：各式的求和方法探讨，包括单维度或多维度的各种Tauberian型定理及其在富氏级数及泛函分析方面的应用；矩阵方法的引入及应用，包括无限维矩阵范数的探讨、级数型或积分型哈地不等式及寇布申不等式的推广及其在复变方面的延伸等；泛函分析观点（例如FK-空间、Saks-空间、包含定理）的探讨。

在函数空间上的逼近方面，台湾学者正在探讨以正线性算子或积分算子序列作用于函数所得函数序列逼近到原函数的点收敛、Lp-收敛，以及其收敛速度的估计。特殊函数论的研究在岛内目前以探讨伯努利多项式、欧拉多项式、Zeta函数以及相关函数为主。复变数函数论的研究在台湾大致分为Hardy空间相关的研究及Nevalinna理论的探讨。另外，在多复变函数和复流形上的研究，也广泛使用古典分析的方法。

泛函分析近年在台湾正在蓬勃发展。通过一系列定期在岛内各校轮流举办的大小型研讨会，从事泛函分析的学者和研究生有一个固定的平台参与合作，其中比较活跃的方向有：矩阵分析、算子理论、演化方程及算子和函数代数等。目前岛内矩阵分析的研究学者大多集中于矩阵数值域和矩阵保锥函数两个题材，前者主要考虑矩阵的酉不变性质和数值域的几何性质二者之间的相互关系，后者则推广古典的有关正矩阵的Perron-Frobenius定理，就保锥函数的谱理论与锥体几何性质二者的关联性作深入的探讨。此两类题材的研究都超越了单纯的矩阵理论，而采用了其他领域的方法和技巧。

算子理论源起于20世纪初泛函分析中有关积分算子、自伴算子与紧致算子的研究，系近代分析学中重要的一环。近年来，国际上的发展渐渐由抽象的算子结构的探讨（如不变子空间问题）转往具体的函数空间算子及算子在控制理论上的应用等方向。在这两方面，目前岛内都有学者作深入持续的研究。由稠定算子所定义的演化方程式和与其解有密切关系的C0-半群和解析半群的理论在上世纪80年代时就相当完备，岛内学者主要探讨非稠定算子所定义的非齐性演化方程式和Volterra积分方程式的可解性，以及与其解有密切关系的算子函数（包括积分C-半群、积分C-余弦函数、K-正则豫解算子函数）的生成、微扰和渐近行为。函数代数作为算子代数的特例，更是成果丰硕。在岛内的研究重点包括算子代数的约当结构理论，并且也讨论作用在其间或者函数代数的紧致算子、等距算子、保斥算子、位移算子和Hankel算子，以及它们的谱分解的问题。

台湾学者对调和分析的研究主要集中在欧氏空间上的富氏分析和小波理论。在经典的富氏分析方面，岛内研究重点包括级数的收敛性与奇异积分算子的有界性，前者主要考虑多维度的三角级数及由不同的特殊函数所衍生的三角级数之收敛性，后者则考虑欧氏空间上的乘算子、Marcinkiewicz积分算子、分数次积分算子、Riesz变换等在Lp、Hp空间上的有界性及其加权有界性，同时也考虑Besov空间、Triebel空间上的T1定理与Tb定理。在小波转换方面，岛内研究重点包括其在数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制理论等应用领域，如在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等，在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间及提高分辨率等，以及在地震勘探的数据处理与大型机械的故障诊断等方面的应用等。

为了解决物理、工程、管理、经济及自然界的很多非线性问题，数学家利用泛函分析与极值分析为主要研究工具，发展出一套非线性分析及凸性分析数学理论，其涵盖领域非常广，包括定点理论、最佳化理论、KKM理论、控制理论与变异分析等。目前台湾岛内仍有不少人从事定点理论方面研究，包括证明定点的存在性、应用及推广和各种定点解法。在最佳化理论方面的研究工作有一部分从事解存在性，探讨有解的充分及必要条件，也有不少人从事求解方法的研究；在半无线数学规划、双层规划、有平衡制控数学规划方面，很多学者均着重于求解的方法及有解的必要条件。KKM理论研究主要集中在KKM定理的推广、相容定理、mini-max不等式及其应用方面，并拿来作为处理其他问题的工具。

以往岛内控制理论研究主要集中在微分包含解的存在性、受控制体、控制器在内全控制系统的可控制性、可观测性、稳定性、性能强健及成本函数最佳化等的数学理论方面。上世纪90年代以来，非线性系统研究成为发展重点，包括偏微分方程数值解、非线性分解等方面。变异分析研究主要集中在Ekelands variational原理、平衡制控多目标优化问题、平衡点问题、变分不等式、变分包含、劣微分变分理论、平滑变分原理、微分包含、补余问题研究及其应用、多值映射微分及其应用、最优控制的最大原理、最优控制的必要条件、劣微分、极值原理等领域。

几何

几何拓朴在台湾一直保持量小而质精的稳定发展。在每年平均不到40项台湾科技主管部门此类研究计划申请项目中，却有超过1/3的计划主持人曾获得杰出奖。其原因在于岛内相关研究人员大多毕业于外国一流大学的数学研究中心，研究主题基本上与世界同步，难度虽然偏高，研究成果也因而多具有较高水平。

然而，精益求精背后却也逐渐突显了几何拓朴在台湾发展的瓶颈。由于相关期刊门槛较高，投稿不易，一些人便逐渐放弃几何拓朴的研究，甚至许多大学数学系也逐渐停开几何学课程。如今台湾相关研究人员几乎全部集中在岛内约10所大学里，重点聚焦在非线性分析中方程式解的奇异点与空间的奇异点研究，以及双有理几何的极小模型理论方面。

微分方程

微分方程长久以来被广泛应用于自然科学、工程及各种数学问题中。近年来，有更多的生物科学领域（如系统生物学、生理学）、经济学及金融学等也开始大量使用微分方程或其相关的离散形式，当作描述现象动态行为的利器。在台湾，微分方程有许多重要的活跃领域，包括几何分析、抛物型及反应扩散方程、椭圆偏微分方程、金兹堡-朗道（Ginzburg-Landau）方程、非线性薛定谔（Schr?dinger）方程、守恒律方程、纳维叶-斯托克斯（Navier-Stokes）方程、动力学及波兹曼方程、常微分方程、动态系统、微分方程的反问题等。

在几何分析相关领域，岛内学者研究方向主要集中在曲率流相关主题，如平均曲率流、膨胀流、预定曲率问题、里奇（Ricci）流、调和映射、最小子流形、流形函数论等，近几年来取得很大的进步，特别是在高余维平均曲率流方面获得重大突破，已吸引了岛内一些优秀年轻学者从事这方面的研究。

在抛物型方程的研究中，反应-扩散方程是非常活跃的领域。这类方程被用来描述燃烧、各种化学反应、材料的相变、神经传导、心脏跳动、生态模型等，其特色是包含许多样式丰富的解。在双曲型偏微分方程的研究方面，主要研究解的存在性、多重性、及稳定性。其模型主要来自于空气动力学、天体力学及弹性力学等。研究成果将有助于对流体运动的了解及应用。然而，上述各类模型在实际状况下将无可避免地必须考虑信息传递的时间迟滞性及外界环境与系统彼此间的随机干扰因素，因此目前正将研究方向扩展至迟滞型微分方程及随机动态系统。

最近几年，岛内有相当多的学者从事与椭圆方程相关的研究，主题大都与半线性型的方程有关，其进展包括：辐射对称解的存在性，多重性及分岐行为，解所定义区域的几何结构（如有界无界、凸性、拓朴复杂程度等）和解的存在性、多重性间的关系，临界非线性指数情形下解爆破行为的研究，构造哈密顿（Hamiltonian）系统中多凹凸解及不同非线性项下的多峰值解，完全非线性椭圆差分算子及相关离散方程所具有的极大值原理，与物理、生物数学相关的椭圆偏微分方程式，如薛定谔方程的孤立解、金兹堡-朗道方程、Liouville方程、陈-赛门（Chern-Simons）方程、Toda系统，保角几何中的完全非线性方程等。这些研究的特色之一，是除了传统的存在性唯一性外，更探讨解其他多样的相关问题，如复杂的图形、解的整体构造、几何性质等，同时也使用了许多重要的非线性分析工具。

近10年来，岛内学者在金兹堡-朗道方程方面有一些成果，其数学工具为利用变分法所发展的能量估计，通常用于凝聚态物理学中描述超导和超流体。另外，一些关于漩涡动态的数值计算也有进展，如漩涡解的结构、稳定性分析、漩涡动态等。2014年起，台湾“理论科学研究中心”的数学组与物理组研究人员已经建立起合作团队，双方正在共同开展有关金兹堡-朗道方程应用在理论物理方面的科学计算研究。

非线性薛定谔方程是目前偏微分方程领域最重要的主题之一，无论在理论或应用方面，台湾都有学者投入研究，取得一些计算的成果。台湾科技主管部门下属“数学研究推动中心”发表的报告认为，研究薛定谔方程，对台湾数学界而言仍然需要加强物理方面的知识，并与物理学界有更进一步的互动，否则只是纯粹的“分析”或计算，或者只停留在有文章发表层面，是“闭门造车”。其次在分析方面，近20年来，由于调和分析的引进，使得薛定谔方程及其相关的色散波方程的研究有极快速的发展，但目前台湾在这方面仍然非常缺乏，甚至是脱节。

守恒律方程所涵盖的物理模型十分广泛，其中包括气体、液体、弹性体、等离子体、星云等几乎所有连续体力学的模型方程。上世纪90年代，台湾著名数学家刘太平等人对解的唯一性研究有很大的贡献，近几年的研究则延伸到有源项的守恒律、非线性波方程及波兹曼方程、爱因斯坦场方程的震波解以及守恒律在多维度的数值方法。目前热门的研究课题有：非线性波理论（如有源项、粘性项行进波的稳定性问题，解的长时间渐近行为问题等），计算方法的设计与其数学理论，波兹曼方程解的定性研究，混合型方程及跨音速流体中可压缩流欧拉方程大域解的存在及唯一性问题，大初值柯西问题的大域解存在及唯一性问题等。这些课题均有十分广泛的应用性，对台湾岛内力学和偏微分方程的发展影响尤深。

而在常微分方程领域，近20年来，岛内学者研究领域大都着重于应用科学数学模型的数学分析，如生态数学模型、类神经网络、流行病数值模型、天体力学等。网格型动态系统研究模型主要来自于细胞神经网络，其目的在于模仿人脑的结构及运作，在工程上可用来处理指纹辨识、图像处理、生物视觉及模拟人脑之用。这类大型甚至于是无穷维的系统，可产生非常复杂的行为，研究上极具挑战性。