闭环供应链博弈模型的复杂性分析

马小林，张 芳，曹艳秋

(1. 天津工业大学 理学院，天津300387；2. 鄢陵县安陵镇中心小学，河南 许昌461200)



闭环供应链博弈模型的复杂性分析

马小林1，张 芳1，曹艳秋2

(1. 天津工业大学 理学院，天津300387；2. 鄢陵县安陵镇中心小学，河南 许昌461200)

建立了由一个制造商和一个零售商组成的闭环供应链的定价博弈模型.研究了在零售商主导回收决策下的动态博弈模型.通过数值模拟，利用稳定域图、分岔图和最大Lyapunov指数图研究了动态模型的复杂动力学行为.结果表明,在动态重复博弈中，过快的调整速度会使系统进入混沌.

博弈；闭环供应链；定价；复杂性；混沌

随着经济全球化和一体化的发展，经济效益迅速膨胀，同时自然资源和环境污染也日益加剧，由于人们环保意识的不断加强，很多国家已经加大了环境与资源保护立法的力度[1].越来越多的公司对回收的旧产品进行了再制造[2].再制造是一种全新的废弃物综合利用技术，是解决环境污染、资源浪费和废旧装备翻新的最佳途径[3].美国国际贸易委员会数据表明：美国再制造产品总销售额从2009年的373亿美元增加到2011年的43亿美元[4].逆向供应链的产生使供应链结构从单一的前向供应链发展为闭环供应链(CLSC)结构.

近年来，闭环供应链成为国内外学术界关注的焦点.金晨泽和张宏伟[5]研究了基于低成本的逆向物流回收策略探讨；林云等[6]研废旧产品回收再制造物流网络优化设计模型；究了近几年，越来越多的学者开始运用博弈论的方法研究闭环供应链的决策问题.顾巧论、石连栓等[7]运用博弈论方法研究了逆向供应链的定价策略分析；Savaskan等[8-9]把回收渠道分为 3 种: 第三方回收、零售商回收、制造商回收, 并在非合作博弈的框架下, 研究了渠道成员在不同回收渠道下的最优决策，并通过比较各个回收渠道的批发价、零售价、回收率和整个渠道的利润来评价每个渠道的优劣. 王发鸿等[10]对 Savaskan等的模型进行了改进，在模型中增加了一个回收产品可再制造比率，并在此基础上研究制造商对回收渠道选择的决策问题.Vlachos[11]等提出一种基于系统动力学方法的原理而建立的仿真模型，用总供应链利润作为衡量政策有效性的措施来评估替代长期容量计划政策.张芳[12]等研究了带有关切公平的零售商的双渠道供应链的动态博弈，通过数值模拟，分析了公平关切系数和决策参数对系统的影响，研究了系统的分岔图，最大Lyapunov指数和混沌吸引子等复杂的动力学行为.

本文在上述相关文献的研究基础之上，建立了一个考虑参考价格影响的闭环供应链动态博弈模型，研究了在零售商主导回收下的静态和动态博弈模型，通过数值模拟，利用分岔图、最大Lyapunov指数[13]分析了该模型的动力学行为.

1 问题描述与假设

本文研究了一个由单一制造商和单一零售商组成的考虑参考价格的闭环供应链.假设制造商生产某种产品，将产品以批发价批发给零售商.顾客以零售价去购买产品.同时，产品在市场上会被回收.本文考虑零售商回收情形，并且在零售商主导下进行Stackelberg价格博弈.供应链结构如图1所示.

图1 供应链系统

其中:w为单位批发价格，P为单位零售价格，τ为回收率.

本文考虑了消费者参考价格的影响[14]，则零售渠道和直销渠道的需求函数[15]分别为：

D=α-βP-δ(P-r)

(1)

其中:D表示市场消费者的需求，α参数代表了潜在的市场规模.β表示D的价格弹性系数.r为消费者的参考价格，δ是参考价格系数，满足δ>0.它反映了参考价格对需求的影响.较高的δ值表示消费者对当前价和参考价的差异非常敏感.在本文中关于闭环供应链做如下一些假设：

1)市场中回收生产的再制造产品和原材料制成的新产品具有统一的销售价.

2)参考价格大于用原材料生产新产品的成本.即r>Cm.

3)回收再制造的单位成本小于原材料生产新产品的单位成本.即Cr

4)单位节约成本大于传递价格，传递价格大于单位处理成本.即A

其中:Cm为使用原材料制造新产品的单位成本，Cr为使用回收材料再制造新产品的单位成本，Δ为单位节约成本，即：Δ=Cm-Cr.

2 零售商主导回收模型

零售商领导的市场结构，假设零售商比制造商拥有更大的市场影响力(如零售巨头沃尔玛).该市场中，制造商主要关心来自零售巨头的订单.制造商的批发价格依赖于零售商的零售价格，并且零售商决策回收率τ.零售商利用制造商的反应函数进行零售价格和回收率的决策.在系统供应链中，所有成员都想使得他们的利益最大化，制造商的利润函数是随着增加而增加的，由于P>w因此，w不可能等于P，本文假设制造商的单位边际利润等于t，即：P=t+w.

零售商领导的市场中，博弈顺序为:首先零售商决策P和τ，然后制造商再决策w.制造商的利润函数为：

制造商的利润函数为：

(2)

零售商的利润函数为：

(3)

(4)

将w代入式(3)，进一步求二阶偏导，可得Hessian矩阵为：

由于-(β+δ)<0，故当8B>(β+δ)(A+b-2Δ)2时，Hessian矩阵是负定的，此时零售商的利润函数是凹的并且存在唯一的最优解.系统均衡解为：

wR=-[-2B[(rδ+a)+3Cm(β+δ)]+(β+δ)(A+b-2Δ)[Cm(β+δ)(A-Δ)+(b-Δ)(rδ+α)]]/[(β+δ)(-8B+(β+(β+δ)(A+b-2Δ)2)]

(5)

PR=[(β+δ)(A+b-2Δ)2(rδ+a)-2B(Cm(β+δ)+3(rδ+a)]/[(β+δ)(-8β+(β+δ)(A+b-2Δ)2)]

(6)

τR=[(A+b-2Δ)(rδ+a)-Cm(β+δ))]/[-8B+(β+δ)(A+b-2Δ)2)]

(7)

(8)

(9)

3 相应的动力学价格调整模型

3.1 模型建立

本文认为决策者在价格决策过程中不可能完全理性，基于已有的文献和相关经济理论，认为决策者在决策过程中是有限理性的，其对应的价格调整表达式为：

(10)

系统(10)给出了零售商的决策，决策变量直接与a1和a2有关.制造商的决策变量w(t)与P(t)有关.即：

(11)

3.2 系统的稳定性分析

系统(10)的四个均衡点如下：

EM=(wM,τM)

命题1：所有的边界均衡点Ei(i=1,2,3)均是不稳定的.

证明：系统的雅克比矩阵为：

(12)

其中：

h1=3f2+(β+δ)(Cm-8P+(A+b-2Δ)τ;

h2=(β+δ)(A+b-2Δ);

平衡点E1的雅克比矩阵为：

它的其中一个特征值为：

r1=α1[-(β+δ)(A+b-2Δ)2(rδ+a)+2B(Cm(β+δ)+3(rδ+a)]/2B，由于均衡解PR>0以及Hessian负定条件，可证|r1|>1.故均衡点E1为不稳定的结点.

平衡点E2的雅克比矩阵为：

利用Jury条件研究Stackelberg均衡点ER的局部稳定性.

其对应的Jury条件下的局部稳定性为：

(ⅰ)∶1+Tr(J(E*))+Det(J(E*))>0

(ⅱ)∶1-Tr(J(E*))+Det(J(E*))>0

(ⅲ)∶1-Det(J(E*))>0

3.3 动态数值模拟

下面针对动态Stackelberg博弈模型进行数值模拟，研究调整参数对系统稳定域，产品价格，平均利润等的影响.基于实际的竞争情况，我们选择了一些参数值.令α=100;β=0.5;δ=0.5;Δ=10;A=5;B=1000;b=7;Cm=20;r=25此时算出均衡点为P=89.19,τ=0.093.

图2给出了均衡点ER的稳定区域.可以看出稳定区域大致为α1<0.005 6,α2<0.017.当参数属于稳定区域时，均衡解是局部吸引的.较高的调整速度会使系统离开稳定区域.图3、4展示了α2=0.0015，α1介于到0.0062之间时，P和τ随α1变化的分岔图，图5为对应的最大的Lyapunov指数图.可以看出：当α1<0.005 604时，系统处于稳定状态，此时，P=89.19,τ=0.093；当0.005 604≤α1≤0.005 868时，存在正的李亚普诺夫指数，此时动态系统进入分岔期；在点α10.005 868时，所有的李亚普诺夫指数为负值，此时系统处于稳定状态.图6、7展示了α1=0.004 6，α2介于0～0.017时，P和τ随α2变化的分岔图，图8为对应的最大的Lyapunov指数图.可以看出：当α2<0.010 29时，系统处于稳定状态；当α2=0.010 29时，系统开始进入分岔期，随着α2的增加，当α2=0.01038时，系统进入2倍分岔周期，然后4倍分岔，8倍分岔等等，α2=0.013 2时，Lyapunov指数大于0，系统进入混沌状态.

图2 系统的稳定域

图3 P随α1变化的分岔图

图4 τ随α1变化的分岔图

图5 系统的最大Lyapunov指数图

图6 P随α2变化的分岔图

图7 τ随α2变化的分岔图

图8 系统的最大Lyapunov指数图

4 结 语

本文考虑了一个由单一制造商和单一零售商组成的带有参考价格的闭环供应链的定价决策问题.建立了零售商主导回收的静态和动态博弈模型，通过数值模拟：利用稳定域图、分岔图、最大Lyapunov指数图研究了动态模型的复杂动力学性质.结果表明：在动态重复博弈中，过快的调整速度会使系统进入混沌.当调整参数α2过大时，系统进入不稳定，价格波动明显，市场情况不可预测.双渠道闭环供应链以及多个制造商或者多个零售商组成的闭环供应链系统等问题的研究是未来进一步研究的方向.

[1] BEULLENS P. Closed loop supply chain network equilibrium under legislation [J]. European Journal of Operational Research, 2007, 183(2): 895-908.

[2] 高丽峰, 赵丹丹. 基于循环经济理念下的电子废弃物再利用[J].中国环保产业, 2004(12): 20-22.

[3] PLATT B, HYDE J. Plug into electronics reuse [M]. Washington, DC: Institute for Local Self Reliance.1997:13-38.

[4] BULMUS S C, ZHU S X, TEUNTER R. Competition for cores in remanufacturing. Eur. J. Oper. Res., 2014, 233 (1): 105-113.

[5] 金晨泽, 张宏伟. 基于低成本的逆向物流回收策略探讨[J]. 铁道运输与经济, 2005, 27(11): 19-21.

[6] 王 旭, 林 云. 废旧产品回收再制造物流网络的优化设计模型[J]. 计算机工程与应用, 2010, 46(26): 22-24.

[7] 顾巧论, 高铁杠. 基于博弈论的逆向供应链定价策略分析[J]. 系统工程理论与实践, 2005(3): 20-25.

[8] SAVASKAN R C, BHATTACHARYA S, VAN L. Closed loop supply chain models with product remanufacturing [J]. Management Science, 2004, 50(2): 239-253.

[9] SAVASKAN R C, WASSENHOVE L N V. Reverse channel design: The case of competing retailers [J]. Management Science, 2006, 52(5): 1-14.

[10] 王发鸿, 达庆利. 电子行业再制造逆向物流模式选择决策分析[J]. 中国管理科学, 2006, 14(6): 44-49.

[11] VLACHOS D, GEORGIADIS P, LAKOVOU E. A system dynamics model for dynamic capacity planning of remanufacturing in closed-loop supply chains [J]. Comput. Oper. Res., 2007, 34 (2): 367-394.

[12] ZHANG F, MA J. Research on the complex features about a dual-channel supply chain with a fair caring retailer [J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2016, 30(1): 151-167.

[13] 张家忠. 非线性动力系统的运动稳定性、分岔理论及应用[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2010.

[14] FINE C H, PORTEUS E L. Dynamic process improvement [J]. Operations Research, 1989, 37(4): 580-591.

[15] KOPALLE P K, RAO A G, ASSUNCO J L. Asymmetric reference price effects and dynamic pricing policies [J]. Marketing Science, 1996: 15(1): 60-85.

[16] YAO D Q, YUE X, LIU J J. Vertical cost information sharing in a supply chain with value-addingretailers [J]. Omega, 2008, 36: 838-851.

Complexity analysis of game model in closed loop supply chain MA Xiao-lin, ZHANG Fang, CAO Yan-qiu

(1. School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China;2. Yanling Anling Central Primary School, Xuchang 461200, China)

A pricing game model for closed loop supply chain composed of one manufacturer and one retailer has been established. The dynamic game model based on the retailer domination in recycling decision-making was investigated. The complex dynamic behaviors of the dynamic model were studied by numerical simulation means such as stability domain figure, bifurcation diagram and the largest Lyapunov exponent diagram. The results indicated that adjustment speed too fast could induce the system entering into chaos in the dynamic repeated game.

game; closed loop supply chain; pricing; complexity; chaos

2016-04-28.

马小林(1989-)，女，硕士，研究方向：复杂供应链建模及分析.

F224

A

1672-0946(2016)06-0716-05