厚尾均值渐变变点的最小二乘估计

任肖霖，赵文芝

(西安工程大学 理学院，西安 710048)



厚尾均值渐变变点的最小二乘估计

任肖霖，赵文芝

(西安工程大学 理学院，西安 710048)

利用最小二乘估计方法，给出随机误差为ARCH过程的均值渐变变点估计量，并证明了该估计量的相合性及收敛速度．通过Monte Carlo模拟说明估计的有效性．

渐变模型；厚尾序列；最小二乘估计

在对实际的金融数据进行分析的过程中，学者们发现金融市场经常会受到一些突发事件的影响，而使得金融数据在某个时刻k后，样本的分布或分布参数缓慢地开始变化．在对金融数据进行建模时，必须对渐变变点时刻进行估计，否则影响建模的准确性，导致对投资风险的错误估计，造成不必要的损失．所以对均值渐变模型的变点分析也是统计学的研究热点．Hušková[1]对随机误差项为独立同分布序列的均值渐变模型进行研究，得到变点估计量的收敛速度及其极限分布；Hušková与Steinebach[2]使用CUSUM方法对渐变变点进行研究，得到检验统计量的极限分布；Alexander和Josef[3]研究随机误差项满足弱不变原理的渐变随机过程中变点的估计，并给出变点估计量的收敛速度；Madurkayova[4]对随机误差为独立同分布序列的均值渐变模型运用RCUSUM函数的比率构造Ratio统计量，进行单变点检验；Wang[5]给出随机误差为长相依序列的均值渐变变点的最小二乘估计量，得到该估计量的收敛速度；Steinebach和Timmermann[6]研究了具有漂移项的随机过程中渐变变点，并对其进行序贯检验；Timmermann[7]对渐变变点进行在线监测，得到零假设和备择假设下检验统计量的极限分布；Vogt和Dette[8]研究了非参数模型中渐变变点估计量的渐近分布；Timmermann[9]研究了随机误差项满足弱不变原理的渐变随机过程，得到序贯检验统计量的极限分布．

已有文献对渐变变点的研究主要集中于随机误差项为独立同分布序列的均值渐变模型，对厚 尾均值渐变模型的研究较少．本文运用最小二乘法估计随机误差为ARCH序列的均值渐变变点，并得到估计量的收敛速度．

1 最小二乘估计量

考虑如下厚尾均值渐变模型：

(1)

其中:k*为未知变点，a+=max(0,a),μ,δ≠0,γ∈[0,1]均为未知参数．

假设{ei,i,2,…,n}为四阶矩有界的ARCH过程，即满足:

(2)

记

考虑k*的最小二乘估计:

(3)

当γ=0时，若

(4)

由韩四儿[10]的命题2.1.3可得，当n→∞时，有

其中:W(v)是双边Brown运动．

2 估计量的相合性

令

于是式(3)等价于

(5)

将Vk(γ)分解为：

Vk(γ)=Ak,1+Ak,2+Ak,3+Ak,5,1≤k

(6)

其中:

且

证明：类似于文献[5]的分析过程有：

(7)

由韩四儿[10]的命题2.1.9知：

又由Hušková[1]的引理2.5可知：

证明：令0<ε

类似于式(7)可得：

则

其中:

(8)

由引理1得：

(9)

(10)

(11)

由于Vk*(γ)=0,则由式(6)～(9)可得定理结论．

3 估计量的收敛速度

定理2 假定定理1的条件和式(4)成立，则当n→∞时，

其中:

(12)

由中值定理，有

(13)

另外，由Hušková[1]的引理2.2～2.4可得：若|k-k*|>MΔ,M>0 有

(14)

然后考虑γ∈[0,1/2)时估计量的收敛速度．

由式(7)，(12)～(14)可得：

-C1δ2n-2γ|k-k*|2γ+1≤Ak,5≤-C2δ2n-2γ

|k-k*|2γ+1,

(15)

其中|k-k*|>MΔ,M>0,C1,C2>0 ．

类似于式(13)，可得

(16)

由式(7)，(16)以及引理1得：

δ-2n2γ|k-k*|-2γ+1

(17)

(18)

类似地，由定理1得

(19)

由式(7)、(16)得

(20)

(21)

γ=1/2，γ∈(1/2,1]时证明过程与上述过程类似，在此省略．

4 数值模拟

运用Monte Carlo方法进行数值模拟，数据生成过程如下：

其中:n为样本容量，k*为变点位置，μ=0,δ=2,γ=0∶0.25∶1，ei为ARCH(2)过程：

选取α0=1，α1=0.5，α2=0.2，εi～N(0,1),i=1,2,…,n.

用上述模型产生n=600个样本，τ*=0.5变点位置k*=[nτ]*=300，得到γ=0.25时模拟数据图如图1所示.

图1 模拟数据图

图1中，竖线处为变点位置，可以看出，前300个样本在0附近波动，在变点时刻300后，样本发生了渐变变化．

表1 τ*=0.25时变点估计值

表2 τ*=0.5时变点估计值

表3 τ*=0.75时变点估计值

[1]HUKOVáM.Gradualchangesversusabruptchanges[J].JournalofStatisticalPlanningandInference, 1999(76): 109-125.

[2]HUKOVáM,STEINEBACHJ.Limittheoremsforaclassoftestsofgradualchanges[J].JournalofStatisticalPlanningandInference, 2000(89): 57-77.

[3]ALEXANDERA,STEINEBACHJ.Anoteonestimatingthechange-pointofagraduallychangingstochasticprocess[J].StatisticsandProbabilityLetters, 2002, 56: 177-191.

[4]MADURKAYOVAB.Ratiotestsforgradualchanges[J].ProceedingsofContributedPapers, 2007: 175-180.

[5]WANGLH.Gradualchangesinlongmemoryprocesseswithapplications[J].Statistics, 2007, 41(3): 221-240.

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[7]TIMMERMANNH.Monitoringproceduresfordetectinggradualchanges[D].Gologne:UniversityofCologne, 2014.

[8]VOGTM,DETTEH.Detectinggradualchangesinlocallystationaryprocesses[J].TheAnnalsofStatistics, 2015, 43(2): 713-740.

[9]TIMMERMANNH.Sequentialdetectionofgradualchangesinthelocationofageneralstochasticprocess[J].StatisticsandProbabilityLetters, 2015, 99: 85-93.

[10] 韩四儿. 两类厚尾相依序列的变点检测分析[D]. 西安: 西北工业大学, 2006.

Least square estimation for gradual change in mean of heavy-tailed sequence

REN Xiao-lin, ZHAO Wen-zhi

(School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China)

In this paper, the change-point estimation problem for gradual change in the mean of heavy-tailed sequence was considered. Least squares method was constructed and the consistency of the estimator was proved. The rate of convergence was also studied, Monte Carlo simulations demonstrated that the proposed method was effective.

gradual change model; heavy-tailed sequence; least squares estimation

2016-03-24.

国家自然科学基金青年基金资助项目(11201372)；陕西省教育厅科研计划资助项目(2013JK0592)

任肖霖(1993-)，女，硕士，研究方向：统计模型分析与应用研究．

O212

A

1672-0946(2016)06-0692-05