蛛网模型的分析性质*

王彦朝

(四川师范大学 数学与软件科学学院,四川 成都 610066)

蛛网模型的分析性质*

王彦朝

(四川师范大学 数学与软件科学学院,四川 成都 610066)

首先分析了一种只是纯粹考虑了数学意义的蛛网模型的稳定点求法，并指出其不妥之处在于没有考虑到经济情况的证明问题，这样使利用这类蛛网模型解决的问题缺乏有效的支撑.因此给出综合考虑了数学和经济意义下的蛛网模型的稳定点存在的证明，再应用常微分方程的特征值求法对收敛型的蛛网模型的稳定点求法进行三种情况的分别讨论，最后给出了差分方程形式下的蛛网模型的稳定点的特征值求法并猜想蛛网模型是否具有MarkovProc.性质.

经济数学；分析性质；蛛网模型；稳定点；特征值求法

1 蛛网模型介绍

蛛网模型是自由贸易市场上的一种常见模型，由于商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格就越低，而下一时期商品的数量由生产者的供求关系决定，商品价格越低生产的数量就越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是震荡.那么求的该供求关系下的稳定情况就是研究该类问题的核心目的[1].

蛛网模型在文献[2]中的数学表述为：若设商品的需求和供给函数分别为D=f(p),

证明 记E(p)=f(p)-g(p)为超额需求函数.由

以上这段证明看起来正确，其实有个误区：因为在差分形式下的蛛网模型中的变量很多是离散出现的，而证明中假设是连续情况，这只是符合了数学意义下的理想情况，而没有真正考虑到经济中的离散事实，对于实际应用没有任何作用.那么我们就要问了是否有考虑到了数学和经济两种情况的证明呢？

2 蛛网模型的分析性质

上面的蛛网模型只考虑到了变量连续的情况，且针对变量连续作出了相应的证明.但在实际的经济现象和经济模型中，我们不难发现多数的变量都是以不连续点的方式出现的，那么在这个时候，我们很明显的可以看出上述的证明就存在一定的局限性，现在我们就根据离散数据的模型，考虑到数学和经济的双重意义，给出蛛网模型的完整证明如下： 首先给出差分方程形式下的蛛网模型的定义. Qd:yk-y0=-a(xk-x0) ，a>0，

(1)

Qs:xk+1-x0=b(yk-y0) ，b>0．

(2)

其中k=1,2,…

从式(1)与式(2)中消去yk-y0项，得到：

xk+1-x0=-ab(xk-x0),k=1,2…

(3)

很明显式(3)是一阶常系数差分方程[3].由于k的变化，方程有如下形式：

x2-x0=-ab(x1-x0)，

x3-x0=-ab(x2-x0)，

⋮

xk+1-x0=-ab(xk-x0)．

对以上k个方程进行迭代得到：

xk+1-x0=-(ab)k(x1-x0)．

由于x1与x0都可以作为初值条件，所以在k→情况下，xk+1→x0的条件是：01是k→时，xk+1→的条件.我们分别称01是不稳定点条件，其中a与b只是系数.从叙述我们不难看出以上这种由差分方程的递归性质求出的稳定点条件是符合数学和经济学的定义的[4].差分方程就满足了经济学中离散点的情况，上述结论的数学证明可以由差分方程的性质来证明．

证明

1)对xk+1-x0=-ab(xk-x0)，将其简化为xk+1=g(xk)，其中g是连续可微函数.由Taylor公式构造方程的线性近似：

(4)

Mε=max{|g'(x)|;|x|≤ε}．

由微积分中的原函数公式

(5)

∃ε>0，使得Mε<1，给定ε.令x是Bε(0)中任意一点，使得

(6)

又由式(5)可得：

≤Mε|x|<|x|．

作迭代可得g2(x)=g[g(x)]而且有x∈Bε(0)，g(x)∈Bε(0)，即有：

又有Mε<1，当n→时，，

∀x∈Bε(0).

(ii)考虑局部不稳定情况，首先选取足够小的ε，因此mε>1+γ(γ>0),给定这样的ε，令x是Bε(0)中任意一点，而且x≠0(这样的假设使得不同于(i)假设对所有n,gn(x)∈Bε(0).则有：

由此，同样也可以看出不是每种蛛网模型都有稳定点的[6]，这也在理论上证明了蛛网模型也有收敛和发散两种类型，这说明证明是符合经济意义的[7].

对于收敛的蛛网模型，发现了参数在方程中的地位，自然希望观察出解对参数的依赖性.首先将蛛网模型的一阶常系数差分方程(3)改写为矩阵方程的形式：

气流内循环萃取法在水中石油类测定中的应用……………………………………侯保兵，张 川，侯文晶，等（2.75）

(7)

(8)

式(8)简化为xk+1=Axk,由于A是一个n×n矩阵，求该类方程的可以用特征方程的办法.为方便起见，只讨论二维情况，即：

在一般情况下，A不是对角阵，但可以用Schmidt正交变换[9]来将矩阵A正交对角化：

(1)若A没有重复的特征值[10]

由xk+1=Axk得到

E-1xk+1=E-1AEE-1XK⟹E-1xk+1

=(E-1AE)(E-1xk).

令E-1AE=B，而且E是特征向量阵.从而有：E-1xk+1=BE-1xk.又令yk=E-1xk，由上两式可以得到

E-1xk+1=Byk

(9)

从而很容易得到(9)式的解 xk=Eyk.由此很容易推出n维情况的通解：

对yk+1=Byk方程的解为：xk(c)=Eyk(c)=EBc，其中B=diag(λ1,λ2,…,λn),c为任意常数的列向量[11].

(2)虚特征值

对二维系统出现的虚特征值，那么一定是共轭出现，即有λ1=u+iv，λ2=u-iv，(其中u,v∈R)

那么由特征向量e1=d+if,e2=d-if可以得到：

x1(k)=exp (λ1t)e1,x2(k)=exp (λ2t)e2

(10)

其中式(10)可以由常微分方程求解eAt.(A为矩阵)的方法得到，这里不作证明.又利用Euler变换[12]eiθ=cos θ+isin θ，对式(10)进行变形：

x1(k)=euk(dcos (vk)-fsin (uk))+ieuk(fcos(vk)+dsin(uk)),同理得到x2(k)，将他们扩充到n维的情况，得到通解：

(3)重复特征值的情况

首先考虑该线性系统的系数矩阵有一些特征值的情况.若ε是m维的特征值，那么ε至多有m个线性无关的特征向量.如果没有m个线性无关的特征向量，那么该系数矩阵是退化的，Schmidt正交变换的过程就不能实施，对此我们要找到其他的方法来解决这样的问题.

3 结 论

[1] 丁占文.价格生成蛛网模型的非线性性非均衡性与随机性分析[D].四川：四川大学数学学院应用数学专业，1996.

[2] 鲍远圣,张从军,刘玉华等.常见经济问题的数学解析[M].江苏南京：东南大学出版社，2004年9月.

[3] 么海涛.蛛网模型的数学研究[J].北京信息科技大学学报(自然科学版),2011, 26(2):96-98.

[4] 李忠民,张世英.非线性蛛网模型的动态分析[J].数量经济技术经济研究,1997(2):45-51.

[5] 王军,杨富春.蛛网模型收敛的一些充要条件[J].经济数学,2006,23(4):364-369.

[6] 樊爱军,王开发.一类具有非线性接触率的种群力学流行病模型分析[J].四川师范大学学报(自然科学版),2002,25(3):261-263.

[7] 王楠,冯涛.蛛网模型的数学解析与实际应用研究[J].大众科技,2010(1):27-29.

[8] 黄赜琳.非线性非均衡蛛网模型的动态分析[J].数学的实践与认识,2004,34(3):40-45.

[9] 韩瑞珠.线性代数与空间解析几何教学中的一点体会[J].大学数学,2002,18(6):52-58.

[10]何欢,孙合明,左环.对称矩阵特征值反问题的最佳逼近解的一种数值解法[J].四川师范大学学报(自然科学版),2012,35(4):473-477.

[11]吴光宇.基于数学模型的蛛网理论解析[J].内蒙古农业大学学报(自然科学版),2012,33(2):223-225.

[12]吴筱宁,师东河.欧拉变换的研究[J].石家庄职业技术学院学报,2000(3):20-22.

[13]张超.时间尺度上二阶对称线性方程谱问题研究[D].山东：山东大学数学学院基础数学专业,2007.

[14]毛秀珍.基于属性掌握概率的认知诊断模型[J].四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(3):437-443．

[15]李光勤.蛛网模型中的价格稳定性分析[J].浙江万里学院学报,2007,20(2):17-19.

Property Analysis of the Cobweb Model

WANG Yan-zhao

(Institute of Mathematics and Software Science, SiChuan Normal University, ChengDu 610066, China)

First analysis of a simply consider the stationary point of the mathematical meaning of the cobweb model method, and points out its inadequacies is without taking into account the economic situation has proved problematic, so use this kind of cobweb model to solve the problem of the lack of effective support. Therefore gives a comprehensive account of the mathematical and economic significance of the cobweb model stability proof, again using the ordinary differential equation of the characteristic value calculating method of convergent cobweb model of stable point method for three cases were discussed, finally gives the poor points form equation under the cobweb model of stable point feature value method to calculate and guess the cobweb model is Markov proc. properties.

economic mathematics; property analysis; cobweb model; stable point;characteristic value method

2015-05-01

2015年四川师范大学“质量工程”校级科研项目“金融数学专业实验课程教学改革的探索”

王彦朝(1979—)，男，四川成都，实验师，硕士E-mail:wangmike@sicnu.edu.cn

O175

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