RMI原则在代数学教学中的应用

2017-01-17 16:43谢聪聪杨月婷
数学学习与研究 2016年17期
关键词:映射反演

谢聪聪 杨月婷

【摘要】RMI原则是数学中的一种极普遍的分析、处理问题的方法,用RMI原则处理数学问题,可以化繁为简,让教学更具有渗透力,能起到事半功倍的教学效果.本文通过教学案例分析,阐述RMI原则在代数学教学中的应用,也阐明RMI原则对学生发散性思维和创新意识培养中的重要作用.

【关键词】代数学;映射;反演;关系映射反演原则

数学中有着各种各样的结构系统,它们之间可能存在一一对应,也就是说,一个结构系统中成立的结论,可以对应到另一个结构系统中,并且也会产生相应结论.1983年,中国学者徐利治教授提出关系(Relationship)映射(Mapping)反演(Inversion)原则(简称RMI原则),并对其进行研究.由于映射和反演可以赋予很广泛的含义,所以RMI原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则.本文主要阐述RMI原则在代数学教学中实际应用的意义和作用.

1.RMI原则的基本含义

概略地说,RMI原则的基本内容主要有:R是包含着实际问题的事物关系系统,其中包含着待确定的原像x.R*是包含着理论问题的概念关系结构,其中包含未知原像x的映像x*.M是一种一一对应法则,在它的作用下原像系统R中的问题被映成映像系统R*中的问题,在映像系统中的问题得到解决后,x*得解,通过反演I=M-1,相应求得原像关系中的待确定原像x.也就是说RMI原则的全过程包括以下几个步骤:关系→映射→定映→反演→得解.

为了深入了解RMI原则,我们给出以下相关名词解释:

(1)数学对象:凡可以表述为数学概念的对象都可以成为数学对象.例如,数、数列、方程、向量、函数、泛函、点、线、面、集合、空间、映射、随机变量、算子、导数、基数、积分、群、环、域、数学模型等等.

(2)数学关系:在数学对象间可以确切定义的关系称为数学关系.例如,函数关系、代数关系、泛函关系、对应关系、拓扑关系、相容(不相容)关系等.

(3)数学关系结构:如果在集合的数学对象间存在着某种或多种数学关系,则称为数学关系结构.

(4)映射与反演:映射是在两类数学对象或两个数学元素之间建立的一种对应关系.如果系统间的对应是一一对应,则称为可逆映射.例如,几何中的射影变换、代数中的线性变换、分析学中积分变换.

设有一个映射Φ,它把集合S=a中的元素映入另一个集合S*=a*,其中a为原像,a*为a的映像,此时我们可以记作:

Φ:S→S*,Φ(a)=a*.

如果S还是一个关系结构.Φ能将S映满S*,则可记为S*=ΦS,并称S*为映像关系结构.如果Φ可逆,就把逆映射称为反演,并记为Φ-1.从而就有:Φ-1:S*→S.

(5)定映:如果目标映像能通过已知的数学方法从映像关系结构系统S*中确定出来,我们称映射方法Φ为可定映映射.运用已知的数学方法确定的过程称为定映.

2.RMI原则在代数学教学中的应用

随着科学技术的蓬勃发展,数学科学也在飞速地发展.人们开始意识到数学教育不仅是为了向学生传授数学知识,更重要的是要培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.RMI原则是能够激发学生学习数学的兴趣,提高思维严密性、分析和解决问题能力的一种数学思维方法,在代数学中应用也十分普遍.RMI原则在数学研究和解题中有广泛的应用,灵活地运用RMI原则,找准映射是关键,正确反演是核心.在代数学中运用RMI原则结合坐标法、复数法、函数法、构造法、换元法、待定系数法等具体方法都可以解题,以下是RMI原则在代数学教学中一个应用案例.

上述解法关键步骤是映射,通过换元使非标准方程转化为标准方程,从而让解题有法可循.通过RMI原则对代数学内在联系的分析和挖掘,着力提高学生活用知识的能力.

综上所述,在现代教学中,教师如何在课堂教学中培养学生应用RMI原则运用的意识,激发学生的数学思维动机,发展学生的思维能力,提高学生的思维品质,是摆在教师面前的一个重要课题.通过本文可以总结出应用好RMI原则至少应掌握好四个方面的能力:一是理解原像关系结构系统的能力;二是抽象分析的能力;三是掌握和运用数学手段的能力;四是寻求反演公式的能力.然而做好这些又必须掌握大量的知识且融会贯通,也可以说,如何寻求映射又是一个值得思考的问题.其实,RMI原则着眼于方法上的转化与作用上的逆转的结合,是具有很深刻的方法论意义的一种方法原则.数学史表明,一个新的数学学科的出现,往往与方法上的突破或向新方法转化密切相关.所以,RMI原则在新理论的创造和产生过程中常常起到推动作用.

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