函数中的多元变量问题的求解策略

张崟鹤

函数中的多元变量问题是函数导数综合题的难点，困难之处在于如何构造合适的一元函数，在处理多元不等式时可以利用条件粗略确定变量的取值范围，然后处理好相关函数的分析（单调性、奇偶性等），以备使用，本文以一些习题为例介绍常用的处理方法.

题型一：转化为线性规划问题求解

例1.已知函数y=f（x）是R上的减函数，函数y=f（x-1）的图像关于点（1，0）对称，若实数x，y满足不等式f（x-2x）≤-f（2y-y），且1≤x≤4，则的取值范围是？摇 ？摇.

【解析】f（x-2x）≤-f（2y-y）？圯f（x-2x）≤f（y-2y）？圯x-2x≥y-2y，即（x-y）-2（x-y）≥0，所以有（x-y）（x+y-2）≥0.再结合1≤x≤4可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是[-，1].

【点评】从所求出发可联想到（x，y）与（0，0）连线的斜率，先分析已知条件，由f（x-1）对称性可知f（x）为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形，转化为平面区域内的点与原点连线的斜率范围问题.

题型二：转化为直线与圆锥曲线的位置关系问题

例2.设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式组f（m-6m+23）+f（n-8n）<0m>3，那么m+n的取值范围是（ ）.

A.（3，7） B.（9，25） C.（13，49） D.（9，49）

【解析】由f（1-x）+f（1+x）=0可得：f（1-x）=-f（1+x），所以f（x）关于（1，0）中心对称，即-f（x）=f（2-x），所以，f（m-6m+23）+f（n-8n）<0？圯f（m-6m+23）<-f（n-8n）=f（2-n+8n），利用f（x）单调递增可得：m-6m+23<2-n+8n？圯（m-3）+（n-4）<4，所以m，n满足的条件为（m-3）+（n-4）<4m>3①，所求m+n可视为点（m，n）到原点距离的平方，考虑数形结合.将①作出可行域，为以C（3，4）为圆心，半径为2的圆的右边部分（内部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是（，7），所以m+n∈（13，49）.

【点评】二元变量问题一般与圆锥曲线的轨迹方程有密切联系，如果根据函数特点合理地转化即可利用曲线轨迹中的最值问题解决，本题首先考虑变形f（m-6m+23）+f（n-8n）<0，若想得到m，n的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小.

题型三：整体换元

例4.已知f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax+bx，其中g（x）的图像在（1，g（1））处的切线平行于x轴.

（1）确定a与b的关系

（2）设斜率为k的直线与f（x）的图像交于A（x，y），B（x，y）（x

【解析】（1）g（x）=lnx+ax+bx ∴g′（x）=+2ax+b，依题意可得：g′（1）=1+2a+b=0？圯b=-（2a+1）.

（2）依题意得k==，故所证不等式等价于：

<<？圯

令t=，（t>1），则只需证：1-

∴h（t）在（1，+∞）单调递减，∴h（t）

对于左边不等式：1-0，令p（t）=lnt+-1，

则p′（t）=-=，∴p（t）在（1，+∞）单调递增，∴p（t）>p（1）=0.

【点评】（1）在证明不等式<<时，由于x，x独立取值，无法利用等量关系消去一个变量，因此考虑构造表达式f（x，x），使得不等式以f（x，x）为研究对象，再利用换元将多元不等式转变为一元不等式.

（2）所证不等式为轮换对称式时，若x，x独立取值，可对x，x定序，从而增加一个可操作的条件.