基于复Contourlet和各向异性扩散的图像降噪算法

谢佩军

摘要：提出了一种将复Contourlet变换和各向异性扩散相结合的图像降噪方法。通过复Contourlet变换对图像进行分解后，分别采用KAD对高频分量进行扩散，CDD对低频分量进行扩散，最后，经复Contourlet逆变换实现图像重构。并从主观视觉效果和定量评价两个方面，对该方法与其他降噪方法进行比较分析。实验结果表明，该方法不仅具有良好的降噪效果，并且能够较好地保留图像边缘和细节特征。

关键词：复Contourlet变换；KAD；CDD；图像降噪

中图分类号：TP391 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.04.010

0 引言

图像是人类获取信息的重要来源，图像在形成、传输、处理等过程中势必会受到噪声的干扰，从而影响人眼或图像设备对实际图像的分析与理解。为了提高图像质量，便于后续的图像分割、特征提取、图像分析等，图像降噪显得尤为关键。近年来，随着数学理论的不断发展与深化，逐步渗透到各个应用领域，模糊数学、小波理论、遗传算法等被广泛融入各种图像处理算法。基于偏微分方程（partialdifferential equation，PDE）的各向异性扩散（anisotropicdiffusion，AD）方法以其优越的性能被广泛应用于图像降噪、图像修复、图像分割等，并取得了较大进展。与传统的图像降噪方法相比，各向异性扩散方法的突出优点是去除图像噪声的同时，能够保留甚至增强图像中的边缘信息。这类算法包括PM模型、TV模型（Total Variation）等，其缺点是对于含有高程度噪声或乘性噪声的低信噪比图像，容易丢失细小边缘和纹理信息，从而影响降噪效果。

传统的图像降噪方法中，小波变换具有理想的多分辨率特性与时频特性，能够针对不同分辨率图像和噪声特点实现降噪。但小波变换只能获取有限方向的细节信息，从而限制了其降噪效果。Donoho和Vetterlit31于2002年提出的Contourlet变换，是对小波变换进行的一种新扩展，其具有多分辨率、时频局域化、各向异性等特点，能够稀疏地表示图像。Contourlet变换结合拉普拉斯金字塔和方向滤波器组，分开实现多尺度分解与方向分析，可充分体现图像轮廓和高维奇异性等信息。Contourlet变换在图像纹理检测、图像降噪方面的应用都取得较理想的效果。但由于分解前的下采样和重构前的上采样，导致Contourlet变换缺乏平移不变性，且存在频谱混叠现象和高冗余度，在图像降噪过程中易出现伪Gibbs现象，从而严重影响图像质量。因此，近几年来有人将小波变换、Contourlet变换等多尺度变换与各向异性扩散相融合，在有效去除图像噪声的同时，也能够较好地保持边缘信息。马秀丽等及武晓玥等均将NSCT与TV扩散相结合，能够大大减少Gibbs伪影，但算法引入了两次TV扩散，计算复杂度较高，影响了计算效率。吴一全等提出Contourlet域的非线性扩散去噪，分别采用TV模型、PM模型对图像低频分量与高频分量进行扩散，去除普通噪声较理想。但对于强噪声污染的图像，上述几种方法采用TV扩散均易产生阶梯效应，影响处理效果。丁亮等采用不同强度的各向异性扩散对图像Contourlet系数矩阵分别进行处理，能够克服阶梯效应，但受Contourlet变换的较强振荡性、缺乏平移不变性的影响，导致降噪不够充分。

近年来提出的复Contourlet变换（Complex Con-tourlet Transform）能够在不同程度上解决上述模型存在的问题，复Contourlet变换采用双树复小波（DT-CWT）的多尺度分解与方向滤波器组（DFB）的方向分析，具有良好的平移不变性、低冗余度等优点。陈新武等提出了基于复Contourlet变换的纹理图像检索系统，克服了Contourlet变换时频局部化特性差、缺乏平移不变性等不足，实现较高的检索效率。吴一全等将复Contourlet变换与TV扩散、PM扩散结合实现图像去噪，取得较优越的去噪效果，但对强噪声的处理，仍会出现一定程度的阶梯效应。

针对上述问题，本文将复Contourlet变换与改进型各向异性扩散方法相结合，增强各向异性扩散的图像降噪效果，且复Contourlet变换能够弥补各向异性扩散模型的不足。该算法的基本步骤为：首先通过复Contourlet变换对图像进行分解得到高频和低频分量，然后高频分量采用核各向异性扩散（kernel anisotropie diffusion，KAD）进行处理，低频分量部分采用曲率驱动扩散（curvature-drivendiffusion，CDD）进行处理，最后，通过复Contourlet逆变换实现图像重构，得到降噪图像。本文提出的方法与上述文献中的几种方法进行对比，从定性与定量两个方面来比较分析图像降噪效果。

1 基于复Contourlet变换和各向异性扩散的图像降噪

1.1 复Contourlet变换

复Contourlet变换由双树复小波（DT-CWT）多分辨率分解和方向滤波器组（DFB）的方向分析构成。DT-CWT变换由两棵离散小波树对实部与虚部实现并行运算，每层分解得到6个不同方向的高频子带和2个低频子带，并将DFB级联于高频子带，进一步扩展高频子带，从而提高方向分辨率，更全面地描述图像中的细节信息。复Contourlet变换关注幅值与相位两方面信息，并具有时频局部化特性好、近似的平移不变性等优点，确保在图像分解和重构的过程中能够完整地保留细节信息，提高降噪效果。

1.2 核各向异性扩散（KAD）

基于各向异性扩散的图像降噪，其基本思想就是求解以原始图像为初始值的非线性扩散方程，最初由Perona和Malik提出，简称PM模型。PM模型利用梯度算子来识别图像中噪声和边缘引起的梯度变化，并采用领域加权平均的方式去除噪声引起的梯度变化。PM模型由线性扩散方程改进而来，其连续形式为：

（1）其中，div表示散度算子，▽表示梯度算子，u₀表示原始图像，||||表示幅度，c（||▽u||）表示扩散系数。进一步将（1）式进行离散化，得到相应的有限差分形式：

（2）其中，l是时间步长，p是像素位置，ξ_p是像素p的领域集，λ是加权值。梯度值为：

（3）Perona和Malik提出两种形式的扩散系数c（||▽u||）为：

（4）

（5）其中，参数k是梯度阈值，（||▽u||/k）²决定了图像降噪与细节保持的平衡度。

PM模型对于图像污染程度较低的加性噪声具有较理想的降噪效果，但对于低信噪比图像与图像中强噪声污染的处理存在一定局限性，梯度算子难以区分噪声和边缘引起的梯度变化。这种情况下，PM扩散的去噪效果较差，甚至会引入新的噪声。

图像中的边缘和噪声均为高频分量，且噪声随机分布于多维空间，从而可采用非线性方式映射到一个高维空间，然后在高维空间进行降噪。Yu等于2008年提出了核各向异性扩散模型（KAD），将图像中噪声和边缘的识别看作非线性可分的分类问题，然后，通过核函数的非线性映射转换成高维特征空间的线性可分问题，并利用梯度算子实现扩散过程的有效控制。KAD模型的理论依据来自于Cover定理，即：对于复杂非线性可分的模式分类问题，将输入空间映射到高维空间更易于简化和解决问题。假设存在非线性变换，可将原空间中的图像数据映射到高维特征空间，则在高维特征空间中能够更高效地实现降噪。

核方法可通过一组再生核函数有效地表示输入数据的非线性关系，并且能够简化数据算法。核方法无需明确的映射函数，只要能将特征空间中的算法表达式转换为内积形式，则该算法就能够通过核函数转换至相应的核方法。基于上述分析，由核扩散||▽[Φ（u）]||替代梯度幅度||▽u||，得到KAD模型的偏微分形式：

（6）相应的有限差分形式为：

（7）其中，||▽[ΦI（u）||表示由映射函数Φ所定义的特征空间的核梯度模，也称为核边缘检测算子。

选择式（5）作为PM模型的扩散函数，则相应的核扩散系数为：

（8）

梯度阈值k的合理选取对核扩散具关键性作用，影响核梯度幅度的扩散程度，k过小则无法有效降噪，k过大则会模糊细节。综合考虑，采用Black等人提出的中值绝对偏差法（MAD）：

（9）

其中，MAD为零均值的正态分布函数。合适的梯度阈值保证核扩散能够实现良好的降噪效果，同时保持图像边缘的完整性。

1.3 曲率驱动扩散（CDD）

TV模型由Rudin等人提出并应用于计算机视觉领域，是一种较理想的图像正则化处理方法，被广泛应用于图像降噪。TV模型图像降噪的基本思想是将问题归结为一个泛函的最小化问题，即求解如下方程的最小值：

（10）其中，Ω表示图像区域，λ是Lagrange常数，表示图像的噪声影响程度。相应的Euler-Lagrange方程为：

（11）其中，ψ满足ψ（0）=0和limψ（x）=∞。

但TV模型易受区域大小的限制而不能满足视觉“连接性准则”，在图像降噪过程中易产生过度扩散。针对这个问题，Chan等人在TV模型的基础上引入曲率项，提出曲率驱动扩散（CDD）模型，可通过曲率来调整各向异性扩散系数。CDD模型将TV模型的扩散系数1/|▽u|修正为g（|k|）/|▽u|，此处，g（|k|）为曲率k的增函数，确保CDD模型能够在边缘区域尽可能终止扩散，防止过度扩散。g（·）的定义为：

（12）

一般取g0）=s^p，s>0，p≥1。

可以得到CDD稳定模型：

（13）

其中，D是待处理区域，E是待处理区域的外领域。CDD模型的扩散强度受图像灰度梯度值和等照度线曲率两者的共同影响，在等照度线曲率较大处扩散强度随之增大，随着曲率的减小扩散强度逐渐减弱，从而解决了TV扩散不满足“连接性准则”的问题，CDD模型具有良好的稳定性与理想的扩散效果。

1.4 基于复Contourlet和各向异性扩散的算法步骤

Step1：原始图像的复Contourlet分解。

首先，原始含噪图像由DT-CWT进行多分辨率分解，选择“antonini”和“qshift_b”滤波器；然后，并将DFB级联于高频分量，对6个不同方向高频分量进行分解，滤波器选择“pkva”。

Step2：低频分量处理。

原始图像经过复Contourlet分解所得到低频分量，主要是信号信息，噪声信息基本都在高频分量中。低频分量采用曲率驱动扩散（CDD）模型进行扩散，CDD扩散受多重空间几何信息的控制，具有良好的稳定性与理想的扩散效果。

Step3：高频分量处理。

高频分量包含大量的图像细节与噪声信息，因此，高频分量的有效处理对算法的降噪效果有关键性影响。采用核各向异性扩散模型（KAD）对高频分量进行扩散，并根据中值绝对偏差法（MAD）选取合适的梯度阈值k，确保理想的扩散效果。

Step4：降噪图像重构。

将扩散后的低频和高频分量进行复Contourlet逆变换，实现图像重构，得到降噪图像。

复Contourlet图像降噪算法流程如图l所示。

2 实验结果与分析

针对本文提出的复Contourlet变换与改进型各向异性扩散图像降噪算法，采用大量各类噪声图像进行降噪效果的实验。比较分析本文方法与文献提出的NSCT与自适应TV扩散相结合的方法（NSCT TV）、文献提出的基于Contourlet变换的各向异性扩散方法（CT AD）、文献提出的复Contourlet变换与TV扩散及PM扩散结合的方法（CCT TP）的降噪效果。

对受高斯噪声污染的标准图像lena进行降噪实验，噪声均值为0，标准差为20，实验结果如图2所示。实验过程中，NSCT TV方法和CT AD方法的均选择“9-7”塔式分解和方向滤波器组进行三层分解；CCT_TP方法将图像进行复Contourlet分解后，高频部分进行TV扩散，低频部分进行PM扩散。从视觉效果上来看，NSCT_TV方法能够有效地减少Gibbs伪影，降噪效果较好，但是处理效率较低。CT_AD方法对噪声具较好的抑制效果，但部分图像细节和边缘出现一定程度的模糊，CCT_TP方法能够较好地保留图像边缘和纹理特征，但会产生一定的阶梯效应。相比于其他几种方法，本文方法不但能够很好地抑制噪声，而且提升了图像视觉质量，很好地保持了图像边缘和细节特征。

定量分析采用均方差MSE，峰值信噪比PSNR和结构相似度SSIM三个指标对本文方法与上述方法的处理效果进行对比，如表1所示。MSE和PSNR表征各算法的降噪效果，MSE值越小，PSNR值越大则说明降噪效果越好。SSIM从结构、对比度和亮度三个方面测评两幅图像的相似度，SSIM值介于0和1之间，其值越接近1，则说明降噪效果越理想。

由表1可以看出，本文方法处理后图像的MSE值最小，且MSE值至少比其他方法少20；PSNR值最大，且PSNR值比其他方法大1～3 dB；SSIM值为0.98，最接近于1。因此，验证了本文算法的图像降噪能力优于其他方法。

3 结论

本文提出复contourlet变换和各向异性扩散的图像降噪算法，首先对图像进行复contoudet分解，然后高频分量采用KAD进行扩散，低频分量采用cDD进行扩散，取得较好的降噪效果。经过大量的对比实验表明，本文算法在主观视觉效果与定量评价指标上，均优于上述NST TV方法、CT AD方法和CCT TP方法。本文算法具良好的平移不变性和抗振荡性，在有效去除噪声的同时，能够较好地保留图像边缘和细节特征。