三向应力状态下粗粒土的强度准则研究

施维成，朱俊高，代国忠，史贵才，朱建群

(1.常州工学院 常州市建设工程结构与材料性能研究重点实验室，江苏 常州 213002；2.河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室，江苏 南京 210098)

三向应力状态下粗粒土的强度准则研究

施维成1，朱俊高2，代国忠1，史贵才1，朱建群1

(1.常州工学院 常州市建设工程结构与材料性能研究重点实验室，江苏 常州 213002；2.河海大学 岩土力学与堤坝工程教育部重点实验室，江苏 南京 210098)

用p,q,b这3个变量表示Mohr-Coulomb破坏准则、粗粒土破坏准则，将这两个强度准则在π平面上的破坏线与粗粒土等p等b试验结果比较：发现后者由于考虑了中主应力系数b的影响，更接近试验结果；但这两个破坏准则都有奇异点，不利于数值计算。在松砂、紧砂、砾石料、粗粒土的等σ3等b试验结果基础上，提出了一个无奇异点的新强度准则，其在π平面上的破坏线与试验结果更加吻合。

岩土工程；破坏准则；π平面；粗粒土；等p等b；真三轴

岩土材料的破坏准则[1-12]在岩土工程的计算分析中具有很重要的地位。根据土的试验特性，学者们提出了不少破坏准则[13-15]，包括Mohr-Coulomb破坏准则、Lade-Dunca破坏准则和Matsuoka-Nakai破坏准则等。为反映土体在三向受力时的破坏特性，杨雪强[12]、郑颖人等[16]、史述昭等[17]、姜洪伟等[18]分别提出了一些以应力罗德角为变量的形状函数来反映π平面上的破坏条件。SHI Weicheng等[19]根据松砂、紧砂、砾石料、粗粒土的等σ3等b试验结果提出一个以中主应力系数b为变量的形状函数，得到一个粗粒土破坏准则。

笔者将对该粗粒土破坏准则以及常用的Mohr-Coulomb破坏准则[13]在π平面上的破坏线进行研究，并提出一种新强度准则。

1 两种破坏准则在π平面上的形状

1.1 用p, q, b表示主应力的表达式

为研究破坏准则在π平面上的形状，先推导出破坏准则在π平面上的γb-b关系式，然后画出破坏准则在π平面上的破坏线。这里的γb指的是π平面上的破坏线与原点(即静水压力所对应点)之间的距离，有

(1)

因此，要画出破坏准则在π平面上的破坏线，只需将破坏准则用p,q(γb),b这3个变量来表示。式(2)将主应力σ1，σ2，σ3表示为p,q,b的表达式。根据p,q,b的定义：

p=(σ1+σ2+σ3)/3

(2)

(3)

b=(σ2-σ3)/ (σ1-σ3)

(4)

由b的定义式(4)可以得到：

σ2=σ3+b(σ1-σ3)

(5)

将式(5)代入式(3)，并整理可得：

(6)

移项可得：

(7)

将式(5)代入式(2)，并整理可得：

p=[(1+b)(σ1-σ3)/3]+σ3

(8)

将式(7)代入式(8)，并整理可得：

(9)

由式(7)和式(9)可得：

(10)

将式(7)和式(9)代入式(5)可得：

(11)

1.2 Mohr-Coulomb破坏准则

Mohr-Coulomb破坏准则常用主应力表示为：

(12)

将式(9)～式(11)代入式(12)，并整理可得用p,q,b表示的Mohr-Coulomb破坏准则：

(13)

假定凝聚力为0，则Mohr-Coulomb破坏准则用p,q,b表示的形式为：

(14)

将式(14)代入式(1)，可得Mohr-Coulomb破坏准则用p，γb，b表示的表达式：

(15)

式中：φtc为b=0时的内摩擦角。

将式(14)等式两边对b求导可知，b=0时和b=1时，d(q/p)/db均不等于0，说明Mohr-Coulomb破坏准则存在奇异点[20-21]。

1.3 粗粒土破坏准则

笔者曾根据粗粒土的等σ3等b试验结果得到一个粗粒土破坏准则[19]：

(16)

(17)

式中：k是与土的性质有关的参数，可表示为：k=1.462 sinφtc-0.523 2；Mc为b=0的破坏应力比，有：Mc=6 sinφtc/(3-sinφtc)。

将式(17)代入式(16)，可得粗粒土破坏准则用p,q,b表示表达式：

(18)

根据q与γb的关系式(1)即可得到该粗粒土破坏准则用p，γb，b表示的表达式。

将式(18)对b求导可知b=1时，d(q/p)/db=0，但b=0时，d(q/p)/db≠0。因而，粗粒土破坏准则也有奇异点。

1.4 两种破坏准则及试验值在π平面上的形状

将Mohr-Coulomb破坏准则和粗粒土破坏准则的破坏线以及粗粒土的等p等b试验结果[22]在p=400 kPa的π平面上画出，如图1。

图1 Mohr-Coulomb破坏准则和粗粒土破坏准则在π平面上的破坏线Fig.1 Failure lines of Mohr-Coulomb Criterion and the failure criterion of coarse-grained soil on π-plane

由图1可看出，与Mohr-Coulomb破坏准则相比，粗粒土破坏准则由于考虑了中主应力系数b对强度的影响，与试验结果更加接近。由图1还可看出，这两种破坏准则都存在奇异点，Mohr-Coulomb破坏准则在π平面上有6个奇异点，粗粒土破坏准则在π平面上有3个奇异点，不利于数值计算。

笔者将根据真三轴试验结果提出一个无奇异点的强度准则。

2 一个无奇异点的新强度准则

2.1 新强度准则的提出

根据P.V.LADE等[23]和施维成等[24]所做的砾石料、粗粒土[19]等σ3等b试验结果，拟合了g(b)～b之间的关系，如图2。

图2 松砂、紧砂、砾石料和粗粒土等σ3等b试验得到的g(b)～b关系拟合Fig.2 Simulation of shape function g(b) for loose sand, dense sand, gravel and coarse-grained soil

图2中的关系式可写成一个共同形式：

(19)

式中：图2中的k分别为0.39，0.47，0.58，0.66，0.63，0.59。

将式(19)代入式(16)可以得到一个新强度准则：

(20)

参数k与φtc之间有较好的线性关系(图3)，可表示为：

k=1.549 sin φtc-0.58

(21)

将破坏应力比Mc及式(21)代入式(20)，可得新强度准则用p,q,b表示的表达式：

(22)

将式(22)对b求导可知，当b=0和b=1时，d(q/p)/db=0，可见新强度准则无奇异点。

图3 k-sin φtc关系Fig.3 Relationship between k and sin φtc

2.2 新强度准则在π平面上的形状

根据q与γb的关系式(1)和式(22)，即可得到新强度准则用p，γb，b表示的表达式，进而可以画出其在π平面上的破坏线，如图4。由图4可见，新强度准则无奇异点，且与试验值较为吻合。

图4 新强度准则在π平面上的破坏线Fig.4 Failure line of the new failure criterion on π-plane

3 结 语

笔者将Mohr-Coulomb破坏准则和粗粒土破坏准则在π平面上的破坏线与粗粒土等p等b试验结果进行比较，发现粗粒土破坏准则由于考虑了中主应力系数b的影响，比Mohr-Coulomb破坏准则更接近试验结果。但这两个破坏准则都有奇异点，不利于数值计算。根据松砂、紧砂、砾石料、粗粒土的等σ3等b试验结果提出了一个新强度准则，其没有奇异点，且在π平面上的形状与试验结果更吻合。

[1] XIAO Yang, LIU Hanlong, SUN Yifei, et al. Stress-dilatancy behaviors of coarse granular soils in three-dimensional stress space[J].EngineeringGeology, 2015，195：104-110.

[2] 姚仰平，孔玉侠.横观各向同性土强度与破坏准则的研究[J].水利学报，2012，43(1)：43-50. YAO Yangping, KONG Yuxia. Study on strength and failure criterion of cross-anisotropic soil[J].JournalofHydraulicEngineering, 2012，43(1)：43-50.

[3] XIAO Yang, LIU Hanlong, YANG Gui. Formulation of cross-anisotropic failure criterion for granular material[J].InternationalJournalofGeomechanics, 2012，12(2)：182-188.

[4] XIAO Yang, LIU Hanlong, ZHU Jungao, et al. Modeling and behaviours of rockfill materials in three-dimensional stress space[J].ScienceChinaTechnologicalSciences, 2012，55(10)：2877-2892.

[5] 刘小强，周世良，尚明芳，等.基于水岩相互作用的岩石力学性能研究[J].重庆交通大学学报(自然科学版)，2012，31(2)：268-313. LIU Xiaoqiang, ZHOU Shiliang, SHANG Mingfang, et al. Analysis on mechanical properties of rock based on water-rock interaction[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity(NaturalScience), 2012，31(2)：268-313.

[6] 吴恒滨，张学富.地下工程围岩稳定性的非线性强度评价指标[J].重庆交通大学学报(自然科学版)，2015，34(2)：28-32. WU Hengbin, ZHANG Xuefu. Nonlinear strength yield index of surrounding rock stability for underground opening[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity(NaturalScience), 2015，34(2)：28-32.

[7] 胡世敬，姚圣磊，余苗.土体剪胀性对地基承载力的影响[J].重庆交通大学学报(自然科学版)，2014，33(5)：98-101. HU Shijing, YAO Shenglei, YU Miao. Effect of shear dilatancy angle on bearing capacity of foundation[J].JournalofChongqingJiaotongUniversity(NaturalScience), 2014，33(5)：98-101.

[8] XIAO Yang, LIU Hanlong, ZHU Jungao, et al. A 3D bounding surface model for rockfill materials[J].ScienceChinaTechnologicalSciences, 2011，54(11)：2904-2915.

[9] 李学丰，黄茂松，钱建固.宏细观结合的砂土各向异性破坏准则[J].岩石力学与工程学报，2010，29(9)：1885-1892. LI Xuefeng, HUANG Maosong, QIAN Jiangu. Failure criterion of anisotropic sand with method of macro-meso incorporation[J].ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering, 2010，29(9)：1885-1892.

[10] 苏栋.一种适用于各向异性土体的破坏准则[J].岩土力学，2010，31(6)：1681-1686. SU Dong. A failure criterion for anisotropic soils[J].RockandSoilMechanics, 2010，31(6)：1681-1686.

[11] 肖杨，刘汉龙，朱俊高.一种散粒体材料破坏准则研究[J].岩土工程学报，2010，32(4)：586-591. XIAO Yang, LIU Hanlong, ZHU Jungao. Failure criterion for granular soils[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2010，32(4)：586-591.

[12] 杨雪强.对一些角隅模型的认识[J].岩土力学，2004，25(8)：1211-1214. YANG Xueqiang. Research on some smooth ridge models[J].RockandSoilMechanics, 2004，25(8)：1211-1214.

[13] 殷宗泽.土工原理[M]. 2版.北京：中国水利水电出版社，2007. YIN Zongze.GeotechnicalTheoryandComputing[M]. 2nd ed. Beijing: China Water Power Press, 2007.

[14] LADE P V, DUNCAN J M. Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil[J].JournaloftheGeotechnicalEngineeringDivision, 1975，101(1)：1037-1053.

[15] NAKAI T, MATSUOKA H, OKUNO N, et al. True triaxial tests on normally consolidated clay and analysis of the observed shear behavior using elastoplastic constitutive models[J].SoilsandFoundations, 1986，26(4)：67-78.

[16] 郑颖人，沈珠江，龚晓南.广义塑性力学——岩土塑性力学原理[M].北京：中国建筑工业出版社，2002. ZHENG Yingren, SHEN Zhujiang, GONG Xiaonan.GeneralizedPlasticMechanics——thePrinciplesofGeotechnicalPlasticMechanics[M]. Beijing:ChinaArchitectureandBuildingPress, 2002.

[17] 史述昭，杨光华.岩体常用屈服函数的改进[J].岩土工程学报，1987，9(4)：60-69. SHI Shuzhao, YANG Guanghua. An improvement of the commonly used yield function for rock material[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 1987，9(4)：60-69.

[18] 姜洪伟，张保良，袁聚云，等.上海软土的屈服函数[J].同济大学学报(自然科学版)，1996，24(4)：422-426. JIANG Hongwei, ZHANG Baoliang, YUAN Juyun, et al. Yield function of Shanghai soft clay[J].JournalofTongjiUniversity(NaturalScience), 1996，24(4)：422-426.

[19] SHI Weicheng, ZHU Jungao, CHIU Chungfai, et al. Strength and deformation behaviour of coarse-grained soil by true triaxial tests[J].JournalofCentralSouthUniversityofTechnology, 2010，17(5)：1095-1102.

[20] 俞茂宏，昝月稳，李建春.统一强度理论角点奇异性的统一处理[J].岩石力学与工程学报，2000，19(增刊)：849-852. YU Maohong, ZAN Yuewen, LI Jianchun. Unified manner to eliminate the corner singularity of unified strength theory[J].ChineseJournalofRockMechanicsandEngineering, 2000，19(Sup)：849-852.

[21] 鲁祖统，龚晓南.Mohr-Coulomb准则在岩土工程应用中的若干问题[J].浙江大学学报(工学版)，2000，34(5)：588-590. LU Zutong, GONG Xiaonan. Problems on Mohr-Coulomb rule in the geotechnical engineering[J].JournalofZhejiangUniversity(EngineeringScience), 2000，34(5)：588-590.[22] 施维成，朱俊高，代国忠，等.粗粒土在π平面上的真三轴试验及强度准则[J].河海大学学报(自然科学版)，2015，43(1)：11-15. SHI Weicheng, ZHU Jungao, DAI Guozhong, et al. True triaxial tests of coarse-grained soil on π-plane and its strength criterion[J].JournalofHohaiUniversity(NaturalSciences), 2015，43(1)：11-15.[23] LADE P V, DUNCAN J M. Cubical triaxial tests on cohesionless soil[J].JournaloftheSoilMechanicsandFoundationsDivision, 1973，101(10)：793-812.

[24] 施维成，朱俊高，刘汉龙.中主应力对砾石料变形和强度的影响[J].岩土工程学报，2008，30(10)：1449-1453. SHI Weicheng, ZHU Jungao, LIU Hanlong. Influence of intermediate principal stress on deformation and strength of gravel[J].ChineseJournalofGeotechnicalEngineering, 2008，30(10)：1449-1453.

(责任编辑 刘 韬)

Study on Failure Criterion of Coarse-Grained Soil in hree-Dimensional Stress State

SHI Weicheng1，ZHU Jungao2，DAI Guozhong1，SHI Guicai1，ZHU Jianqun1

(1. Changzhou Key Lab of Structure Engineering and Material Properties, Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002, Jiangsu, P.R.China；2. Key Laboratory of Ministry of Education for Geomechanics and Embankment Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, Jiangsu, P.R.China)

Mohr-Coulomb criterion and the failure criterion of coarse-grained soil were expressed byp,qandb. The failure lines on π-plane of the two criterion were compared with the test results of coarse-grained soil in which bothpandbkept constant. It is shown that the later criterion is closer to the test results owing to considering the influence of the intermediate principal stress ratiob. Both of the two criterion have singular points which are disadvantageous to numerical calculations. Based on the experimental results of loose sand, dense sand, gravel and coarse-grained soil, a new strength criterion is proposed whose failure line on π-plane fits for the test results.

geotechnical engineering; failure criterion；π-plane; coarse-grained soil; bothp-andb-constant; true triaxial

10.3969/j.issn.1674-0696.2017.01.12

2015-10-19；

2015-11-10

国家自然科学基金项目(51678083；51479052；41302226)；江苏省六大人才高峰项目(JZ-011)；江苏高校品牌专业建设工程一期项目(PPZY2015A041)；湖南科技大学岩土工程稳定控制及健康监测湖南省重点实验室开放基金项目(E21620)

施维成(1982—)，男，江苏盐城人，副教授，博士，主要从事土的基本性质及本构关系方面的研究。E-mail: shiweicheng 1982@163.com。

TU 43

A

1674-0696(2017)01-064-04