各向异性油藏倾斜裂缝水平井非稳态压力模型

任宗孝，吴晓东，何晓君，李金海，左翼，娄尔标

（1.中国石油大学（北京）石油工程学院教育部重点实验室，北京 102249；2.中国石油青海油田测试公司，青海 茫崖 816400；3.中国石油青海油田公司采油三厂，青海 茫崖 816400；4.中国石油塔里木油田公司油气工程研究院，新疆 库尔勒 841000）

各向异性油藏倾斜裂缝水平井非稳态压力模型

任宗孝1，吴晓东1，何晓君2，李金海3，左翼1，娄尔标4

（1.中国石油大学（北京）石油工程学院教育部重点实验室，北京 102249；2.中国石油青海油田测试公司，青海 茫崖 816400；3.中国石油青海油田公司采油三厂，青海 茫崖 816400；4.中国石油塔里木油田公司油气工程研究院，新疆 库尔勒 841000）

由于地质沉积过程中岩石颗粒大小取向不同，导致大部分油藏都是各向异性油藏；各向异性油藏又会导致水力裂缝与水平井筒之间存在一定的倾角。但目前压裂水平井非稳态压力模型大都在各向同性油藏裂缝垂直井筒前提下建立的。为解决现场实际问题，首先通过坐标变换将各向异性油藏等效转换为各向同性油藏，之后基于Ozkan源函数应用坐标平移及坐标旋转原理，建立考虑裂缝与水平井筒之间存在任意倾角的分段压裂水平井非稳态压力模型。经计算，当裂缝与平面最大渗透率夹角为90°时，渗流阻力最小；夹角在50～90°变化时，倾角的改变对分段压裂水平井压力影响较小。随着裂缝间距的降低，第一径向流逐渐消失，试井曲线会出现“驼峰”状凸起。

各向异性油藏；倾斜裂缝；坐标变换；压裂水平井；源函数

0 引言

水平井及压裂水平井技术使一些低渗、特低渗等非常规油藏得到了有效开发。自20世纪90年代开始，压裂水平井非稳态压力模型一直是研究的热点。1991年，Larsen等［1］应用Gringarten［2］源函数在无限大油藏中建立了垂直压裂水平井的产能模型；1994年，Guo等［3］同样应用Gringarten源函数在无限大板状油藏中建立了分段垂直压裂水平井非稳态压力模型，但该模型没有考虑裂缝与裂缝之间的相互干扰；1995年，Horne等［4］完善了Guo和Evans的模型，考虑了裂缝之间的相互干扰；1996年，Chen等［5］应用Ozkan［6］源函数在无限大板状油藏中建立了分段压裂水平井压力动态模型；2004年，Zerzar等［7］在均质油藏中建立了考虑裂缝间射孔影响的压裂水平井流入动态模型；2007年，Valko等［8］提出了体积源函数，应用体积源函数建立了既考虑井筒导流能力，又考虑裂缝渗透率的垂直压裂水平井的渗流模型；2009年，Brown等［9］解决了纵横交错复杂缝网的渗流问题，建立了三线性流模型。这些模型都是基于裂缝垂直或平行水平井筒建立的，不适用于求解水力裂缝与井筒之间存在非垂直角度的油藏渗流问题。

储层沉积过程由于岩石颗粒取向不同，导致油藏不同方向的渗透率不同，此外，非常规油藏中天然裂缝的存在也可造成储层的各向异性［10］。1937年，Muskat［11］利用坐标转换，将各向异性油藏等效成各向同性油藏，进而给出了平面各向异性渗流的解析解；基于Muskat坐标转换思想，学者们［12-18］研究了各向异性油藏中水平井、压裂直井以及注采井网等渗流问题。目前就公开发表的文献而言，在各向异性油藏中考虑裂缝倾角对水平井非稳态压力影响的研究几乎没有。但现实中大部分油藏都是各向异性油藏，裂缝与水平井筒之间也都有一定的倾角，尤其是在低渗、特低渗等非常规油藏资源越来越多的情况下，在各向异性油藏建立考虑裂缝倾角的水平井非稳态压力模型是非常必要的。

本文首先通过坐标变换将各向异性油藏等效转换为各向同性油藏，之后基于Ozkan［6］源函数应用坐标平移及坐标旋转原理，建立考虑裂缝与水平井筒之间存在任意倾角的分段压裂水平井非稳态压力模型。

1 各向异性油藏倾斜裂缝压力模型

1.1 各向异性油藏转换为各向同性油藏

含有一条倾斜裂缝的水平井，裂缝与水平井筒之间夹角为θ；裂缝穿透地层，水平井段其他部位不射孔；无限大油藏上下边界封闭，考虑各向异性影响；渗透率方向与坐标轴方向平行（见图1）。

图1 各向异性油藏倾斜裂缝水平井示意

在各向同性油藏中，压裂水平井半长、夹角及地层厚度计算公式［17］为

1.2 等效各向同性油藏倾斜裂缝压力模型

通过坐标变换，将各向异性油藏倾斜裂缝水平井问题转化为各向同性油藏的问题。转换后的裂缝半长为lf′，倾角为θ′，但在x′-y′坐标系内仍不能用Ozkan源函数直接求解倾斜裂缝水平井的非稳态压力。

但观察图2可知，x″′-y″′坐标系内压裂水平井的渗流问题可由Ozkan源函数求得［6］：

图2 倾斜裂缝水平井平面示意

式（2）是压裂水平井在x″′-y″′坐标系中的压降计算公式，可以通过坐标旋转和坐标平移原理求出压裂水平井在x′-y′坐标系内的压力变化。首先由坐标旋转原理，可知x″′-y″′平面内坐标与x″-y″平面内坐标转化关系：

然后由坐标平移原理，得x″-y″平面内坐标与x′-y′平面内坐标转化关系：

将式（4）代入式（3）可得x″′-y″′平面内坐标与x′-y′平面内坐标转化关系：

将式（5）无因次化，代入式（2）即可得到带有倾角θ′的裂缝在平面内水平井渗流问题的解：

式（6）即是图1各向异性油藏中倾斜裂缝水平井井底无因次压力在拉氏空间的解。

2 多条倾斜裂缝压裂水平井渗流模型

当各向异性油藏中存在含有N条倾斜裂缝的压裂水平井，裂缝全部穿透地层、水平井段，其他部分不射孔。裂缝与水平井筒之间的夹角为θ1，θ2，…，θi（i= 1，2，3，…，N），裂缝半长为lf1，lf2，…，lfi（i=1，2，3，…，N）；外部环境为上下边界封闭无限大板状油藏（见图3）。该问题的解可基于式（6）计算得出。

图3 分段压裂水平井示意

考虑裂缝之间相互干扰，由叠加原理［4］知任意一条裂缝无因次压降表达式：

不考虑裂缝与井筒的渗流阻力，则：

各裂缝无因次产量之和为1的限制要求：

式（7）、式（8）以及式（9）写成矩阵形式：

3 模型计算结果分析

3.1 分段压裂水平井渗流阶段划分

假设各向异性油藏中含3条等间距、等长垂直裂缝，地层渗透率为Kx=2×10-3μm2，Ky=0.02×10-3μm2，Kz=0.1×10-3μm2；无因次裂缝半长lfD=5，无因次裂缝间距dfD=20。无因次井底压降以及无因次压降导数与无因次时间在双对数坐标系中的关系曲线如图4所示。

图4 3条垂直裂缝水平井典型试井曲线

由图4无因次压降导数与时间的关系曲线知，含有3条（或者多条）垂直裂缝水平井，油藏渗流可以划分为4个流动阶段。Ⅰ为线性流，该阶段油藏流体线性流入裂缝，对应图4中压降导数曲线斜率为0.5，油藏仅动用裂缝之间的区域。Ⅱ为第一径向流，在此流动过程中，裂缝之间还未发生相互干扰，对应压降导数的斜率近乎为0，油藏渗流波及到了裂缝端部区域。Ⅲ为双径向流，裂缝之间已发生相互干扰，对应压降导数的斜率为0.36［7］，油藏压降进一步向外波及。Ⅵ为拟径向流，随着开采的进行，压力降波及到较大的油藏区域；油藏渗流进入拟径向渗流阶段，对应压降导数曲线为y值为0.5的直线。

3.2 裂缝倾角敏感性分析

3.2.1 单裂缝

假设各向异性油藏中含有1条倾斜裂缝；地层渗透率为Kx=2×10-3μm2，Ky=0.02×10-3μm2，Kz=0.1×10-3μm2；lfD=5。裂缝与水平井筒之间夹角θ分别为0，20，50，90°时，双对数坐标系中的典型试井曲线如图5所示。

由图5可知，当裂缝与平面最大渗透率（Kx）方向垂直时，压降导数值最小。当裂缝与x轴平行时，压降最大，渗流阻力也越大。当裂缝倾角在50°≤θ≤90°变化时，角度的改变对渗流影响较小。随着倾角的进一步降低，角度的改变对渗流压降影响较大。单条裂缝时倾角的改变，主要对线性流有影响。

3.2.2 2条倾角相同裂缝

假设各向异性油藏中含有2条等长度裂缝，地层渗透率为Kx=2×10-3μm2，Ky=0.02×10-3μm2，Kz=0.1× 10-3μm2；裂缝与水平井筒之间夹角相同，lfD=5，dfD= 20。当夹角θ分别为0，20，50，90°时，在双对数坐标系中的典型试井曲线如图6所示。

图5 单条裂缝不同倾角敏感性分析

图6 2条裂缝角度相同时敏感性分析

由图6可知，裂缝与平面最大渗透率方向垂直时，压降最小。当裂缝与x轴平行时压降最大，渗流阻力就越大。当裂缝倾角在50°≤θ≤90°变化时，角度的改变对渗流影响较小。随着倾角的进一步降低，角度的改变对渗流压降影响较大。倾角的变化主要影响Ⅰ和Ⅱ流动阶段，随着倾角的降低，第一径向流持续时间增加。

3.3 平面各向异性敏感性分析

假设各向异性油藏中含有4条等长、等间距裂缝；裂缝与水平井筒之间夹角均为90°；lfD=5，dfD=20。定义平面各向异性系数为Kx/Ky。当平面各向异性系数分别为102，101，100，10-1，10-2时，压裂水平井试井曲线如图7所示。

图7 平面各向异性敏感性分析

由图7可知，平面各向异性对Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ流动阶段均有影响。各向异性值越低，此3个阶段无因次压降导数值越大，第一径向流持续时间也越短。当各向异性系数为10-2时，第一径向流消失。

3.4 裂缝间距敏感性分析

假设各向异性油藏中含有2条等长、等间距裂缝，裂缝与水平井筒之间夹角相同均为90°，lfD=5。当dfD分别为1，5，25，55时，压裂水平井试井曲线如图8所示。

由图8可知，裂缝间距越大时，压力导数值越低；裂缝间距的变化主要对Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ流动阶段产生影响。随着裂缝间距的降低，裂缝间相互干扰越来越严重，导致第一径向流逐渐消失，试井曲线出现一“驼峰”凸起。

图8 裂缝间距敏感性分析

4 结论

1）分段压裂水平井的渗流过程可分为4个阶段：线性流、第一径向流、双径向流以及拟径向流。各渗流阶段在无因次压降导数曲线上的特征为：线性流阶段压降导数曲线斜率为0.50，第一径向流阶段压降导数曲线斜率为0，双径向流阶段压降导数曲线斜率为0.36，拟径向流阶段压降导数是一条值为0.5的直线。

2）裂缝与平面最大渗透率方向垂直时，渗流阻力最小；裂缝最大渗透率方向夹角在50°≤θ≤90°变化时，倾角的改变对分段压裂水平井压力影响较小；但裂缝倾角θ≤50°时，倾角变化对水平井压力影响较大。

3）平面各向异性对线性流、第一径向流、双径向流阶段均有影响；各向异性值越低，此3个流动阶段无因次压降导数值越大，第一径向流持续时间也越来越短。

4）裂缝间距主要对线性流、第一径向流、双径向流阶段产生影响。随着裂缝间距的降低，裂缝间相互干扰越来越严重，第一径向流逐渐消失，试井曲线出现“驼峰”状凸起。

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（编辑 孙薇）

Model of transient pressure behavior for horizontal wells with inclined fractures in anisotropy reservoir

REN Zongxiao1,WU Xiaodong1,HE Xiaojun2,LI Jinhai3,ZUO Yi1,LOU Erbiao4
(1.MOE Key Laboratory of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Beijing 102249,China; 2.Test Company,Qinghai Oilfield Company,PetroChina,Mangya 816400,China; 3.No.3 Oil Production Plant,Qinghai Oilfield Company,PetroChina,Mangya 816400,China; 4.Research Institute of Oil and Gas Engineering,Tarim Oilfield Company,PetroChina,Korla 841000,China)

Different geological grain sizes and orientation in the process of rock sedimentation cause the anisotropy of the most reservoirs.Reservoir anisotropy leads to the angle between hydraulic fracture and horizontal wellbore.But currently most transient pressure model for fracturing horizontal wells is established under the precondition of vertical cracks.In order to solve the actual problem,through the coordinate transformation,anisotropic reservoir is converted into equivalent isotropic reservoir.Then based on the Ozkan source function coupled with coordinate rotating and coordinate translation principles,the fractured horizontal well pressure model is established with any fracture angle.Through calculation,reservoir flow process can be divided into four stages:linear flow,the first radial flow,double radial flow and pseudo radial flow.When the angle between the fracture and the maximum plane permeability is from 50°to 90°,the angle change has less affection on the pressure behavior of fractured horizontal well.The first radial flow gradually disappears as the fracture spacing becomes less and the well test curve will appear in a"hump"shape.

anisotropy reservoir;inclined fracture;conversion of coordinate;fractured horizontal well;source function

国家重点基础研究发展（973）计划项目“陆相致密油高效开发基础研究”（2015CB250900）；国家科技重大专项课题“复杂结构井优化设计与控制关键技术”（2011ZX05009-005）；国家自然科学基金项目“井筒连续温场中重力热管传热理论研究”（50674096）

TE355.6

：A

10.6056/dkyqt201701017

2016-06-20；改回日期：2016-11-13。

任宗孝，男，1989年生，在读博士研究生，2013年硕士毕业于中国石油大学（北京），主要从事油气藏渗流方面的研究工作。E-mail：0789apple_ren@163.com。

任宗孝，吴晓东，何晓君，等.各向异性油藏倾斜裂缝水平井非稳态压力模型［J］.断块油气田，2017，24（1）：74-78.

REN Zongxiao，WU Xiaodong，HE Xiaojun，et al.Model of transient pressure behavior for horizontal wells with inclined fractures in anisotropy reservoir［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（1）：74-78.