中学生数学直觉的意义与培养

张磊

摘要 数学直觉是对所学的数学概念、定理、公式、结论等没有通过严格的演绎推理和逻辑思维活动就能产生直观感知的一种认识能力。学生一旦有了某个知识的数学直觉，就可加深对该知识的理解，既提升了学生的形象思维。又对抽象思维予以支撑，有利于认清数学本质。在具体的数学教学中，要通过创设数学实验、增强直觉感知，展示实物模型、提升直觉能力，寻找数学原型、加深直觉认识等方式，来培养中学生的数学直觉思维能力。

关键词 中学生 数学直觉 培养

一、培养数学直觉的意义

所谓数学直觉，就是对所学的数学概念、定理、公式、结论等没有通过严格的演绎推理和逻辑思维活动就能产生直观感知的一种认识能力。有了这种数学直觉能力，才能对数学知识有一个整体认识，才能认清其本质而不犯错。

数学家莱布尼茨曾把认识真理的能力称作直觉；心理学家弗洛伊德认为直觉是一种潜意识，它是一切创造活动的基础。认知心理学家认为学生学习数学新知的过程，就是一个自我建构的过程。人的大脑会根据已有的认知基础，对新知进行加工和重新组合，以形成一个新的结构体系，而要熟知这个新结构，就必须要对刚纳入的新知有一个直觉的认识。学生通过自己的亲身体验和领悟才会有直观的感觉，留下的印象也更加深刻，可能还会体验到成功的喜悦，从而更能激发起对数学学习的兴趣。所以，学生一旦在脑中有了某个知识的数学直觉，不仅可加深学生对此知识的理解，特别是某些抽象性强、难于理解的概念、法则与结论等，还可增强学生的形象思维，并对抽象思维予以支撑。

二、培养数学直觉的方式

新课程标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。”因此从新课程实施以来，工作在第一线的数学教师也基本上接受了这些新的教学理念。比如对于概念、定理、公式等的新授课都能安排局部探究和小组合作，尽量在课堂上调动学生的积极性和发挥学生的主观能动性，并能将学生合作与独立思考综合起来运用。当然，还有动手实践、直观感知、操作确认等学习方法，这给数学直觉的培养方式指明了方向。

1.创设数学实验，增强直觉感知

当学生难以发现所学知识结论间的关系或规律时，可通过创设数学实验，让学生进行动手操作实践，以体验数学发现的过程，增强对所学知识的直觉感知。

数学实验就是实验者借助于一些道具或仪器，通过自己动手进行亲自感受与体验，并在一定思维活动下得出的规律和结论或者验证了某项猜想和理论的探究活动。当然，这些数学实验除了动手操作外还一定要有思维活动的参与。正因为数学实验是学生自己的操作实践，所以可形成最初的直觀感知，继而通过思考想象，再到发现、归纳、猜想，使学生亲历数学知识的建构过程，便于发现数学规律，增强数学直觉。

案例1 让椭圆“圆”形毕露

在椭圆的第1课时教学中，大多数高中数学教师采用的基本流程是：教师先用绳子画椭圆，再归纳出椭圆定义，然后建立椭圆方程，教师讲解例题与练习。笔者发现按照教材编写的顺序进行教学时，学生总有一种莫名其妙的感觉：那就是所学的椭圆与圆毫无关系。可既然无关系，为什么“椭圆”中有个“圆”字呢？由于“椭圆”给人的感觉是一个长圆形，是由圆“压扁”或“伸长”而成的，那教师为什么不提圆呢？所以，学生心中觉得这个椭圆纯粹是“空降”而来，既没有人情味也感到不合常理，从而产生一种不自然感，也降低了学生对椭圆的直觉认识。为此，笔者认为在引入上不妨进行实验改进。

引入时的实验可这样设计：先让同桌两个同学合作，用一条细绳子在纸上按住两端点画出椭圆，然后让同学探究：当两端点离得越来越近和越来越远时椭圆的形状变化。

通过学生的实验操作就会发现：当两端点越来越近时，画出的椭圆越来越圆，当两端点重合时就变成了圆；而当两端点离得越来越远时，画出的椭圆就越扁。这样学生就会自己研究出椭圆与圆的关系，从而对椭圆的得出不会感到突然，也增强了对椭圆的直观认识，同时还为椭圆离心率e=c/a的大小影响椭圆形状的知识埋下了伏笔：椭圆越圆，e就越小，当e=0时就变了圆；椭圆越扁，e越大，当c→a时，e→1。有了这样的动手实验，学生对圆与椭圆的形状及e的范围在（0，1）有了直观感受，学生通过自己的实验操作而产生的印象远比老师空洞说教要深刻得多。

2.展示实物模型，提升直觉能力

在讲授一个新的数学知识，尤其是抽象性比较强学生一时难以理解或不能想象的知识时，就要联系学生生活中可见到的实物，以帮助学生理解，增加直观性。笔者认为教师通过实物模型的展示是培养学生数学直觉的一个不错选择，因为具体的实物模型可以降低抽象程度，提升直观形象。特别是在讲授立体几何知识时，更需要用实物模型来直观认知，再通过实验操作来确认，这样才能消除学生初中所学的平面几何带来的认知障碍，增强学生的空间想象能力。所以中学教师在面对学生较难理解的三维空间的立体图形时，最佳的教学策略便是多提供一些具体的实物模型，并让学生自己也动手做一做，尤其是遇到翻折类的题型时，一定要让学生多动手操作以增强直观形象，提升直觉能力。

案例2 棱柱欧氏定义的反例

笔者在听中学教师讲授棱柱定义这节课时，一般都会让学生判断这样一个命题：“有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱”。而学生往往会认为是对的，此时教师就会给出一个如图1的反例，以此来说明该命题的错误，从而佐证教材上的棱柱定义是正确的。但事实上这个反例是有缺陷的，因为一般情况下的多面体都是指凸多面体，而该反例却是凹的，因此数学程度好的学生会质疑，从而就很难判断上述命题的真假。

其实，有数学史知识的教师应该知道，这个命题就是2000多年前的古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中下的棱柱定义，简称欧氏定义。当然现在知道这个定义是不对的，但就是这个错误的定义却得到了历史上许多数学家的认可，并整整统治了2000多年，其原因就是长时间找不到欧氏定义的反例。也许中学教师会认为图1的反例并不是很难，数学家怎么会想不到呢？问题就在于这个反例是凹的，可能当时欧几里得就已经知道这个例子了，但他并不认可，因此只有找到一个凸的反例才具有说服力。数学家们整整花了2000多年，直到20世纪初才找到，该反例便是图2。很明显，这个凸的反例学生根本想不到，这就需要教师自己动手做这个反例的实物模型，用事实说话来提升学生的直觉能力。

用实物模型来展现，可以让学生感到既直观明了又生动具体，从而使一些结论深刻地印在学生的脑海里。如案例2，学生看到这个凸的反例实物时一定会留下深刻印象的。事实上，数学中除了立体几何外，还有一些比较抽象的概念也可借助实物模型来理解，如向量的概念，可用学生手中的“笔”来替代：笔尖表示向量方向，笔身表示向量的模，笔的移动表示向量的平移，这样学生就会很快理解与“数”不同的“向量”；任意角的概念，可用学生身上的“手表”或教室里的“钟”等实物来展现，就会让学生很快突破以前所学的角范围所带来的束缚。

3.寻找数学原型，加深直觉认识

“随着数学学习的深入，学生积累的数学知识和方法就成为了学生的‘数学现实。这些现实应当成为学生进一步学习的素材，选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地揭示相关数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，构建数学认知结构”。根据对“数学现实”的诠释，笔者认为可从学生的已有生活常识出发，去寻找数学知识的原型，以加深直觉认识。

数学原型，就是指产生数学概念、法则、定理等知识的生活来源，或已得到论证的数学知识来作为直觉认识的一种模型。实际上，学生在前面的数学学习中也一直在利用数学原型，比如通过“向东向西”“零上零下温度”（数学原型）来形成“相反意义的量”，继而来进一步理解“正负数”和“正负数加减法则”；因式分解可由小学里学过的数的质因数分解作为数学原型来理解等等。

高中数学中的一些概念、性质和公式等也可通过寻找数学原型来帮助理解。比如：三角函数的单位圆定义，就以游乐场中的摩天轮作为数学原型：你坐在那里的位置就相当于单位圆上的一个点，然后当摩天轮转动后，如何来表示你的位置？以这样的生活现实来帮助学生认识三角函数的本质：刻画具有周期性现象的圆周运动的函数模型。学生有了摩天轮作为单位圆的数学原型后，自然就会直观认识到Isinal，Icosxl的值不能超过1，有了这样的数学直觉，也就不会犯算出sina=2还作为答案的错误情况。再比如一些抽象函数，当具有性质f（x）f（y）=f（x+y），f（xy）==f（x）+f（y）时，则前者可用指数函数f（x）=a^x作为模型，后者可用对数函数f（x）=log_ax作为模型。这样让学生用已熟悉的具体函数作为数学原型就好理解，也容易解题了。这就是典型的应用数学原型来加深学生的直觉认识。

三、培养数学直觉须注意的问题与原则

1.培养数学直觉须注意的问题

（1）目的性不明

培养数学直觉是为了增强学生对所学知识的直观认识，也是让学生更好地理解数学知识，认清数学本质。如果仅仅是为了体现直观性，而忽视数学知识的内在联系和逻辑性，尤其是脱离数学的本质，对学生无任何帮助。

（2）缺乏科学性，盲目培养

不管是数学实验还是数学现实中的原型，都是对数学知识的直观诠释，即都能正确地刻画数学知识。如果教师提供的模型并不能让学生很好地理解数学知识，甚至是错误的，不仅不能培养数学直觉，而且还会误导学生。

2.培养数学直觉的原则

（1）适用性原则

不管设计的是数学实验，还是提供实物模型和数学原型，都要根据教学内容和学生已有的数学认知程度来考虑，只有正确反映数学知识的直观教学才适用于学生，也有利于学生理解数学。

（2）直观性原则

教师让学生完成某个数学实验，再现某数学知識或展示某个模型，都要让学生感到直观形象，从而使学生能完成从感性认识到理性认识的顺利过渡，提高学生的抽象思维能力，同时也加深了直觉印象。

（3）探究性原则

学生做完数学实验后或在教师提供模型后，还要让学生继续探究，或观察发现或归纳总结等。如案例2，当学生看到实物模型后，还可深入探究怎样得到这个反例，如可通过“补形”或“切割”等方法，这就需要推理和数学思维。如果抽象的推理以具体实验或模型为依托，学生在研究实验与模型的过程中就可获得解决问题的启发与灵感。

要让学生在内心真正理解数学知识和接纳新知，就必须要先对该知识有一个直觉感知，然后再在大脑中形成一个整体认识，继而上升到抽象层面。发现一个问题往往比解决问题更重要，而“发现”靠的并不都是逻辑思维，直观性的思维和直觉能力有时更能出奇制胜。而在课堂上培养学生的数学直觉，可使许多抽象和沉闷的概念、公式、定理、结论更易理解。

[责任编辑 郭振玲]