解与圆相关题的错误分析

文/李树平

解与圆相关题的错误分析

文/李树平

下面对解答与圆相关问题时常犯的错误加以分析，希望你能从这些错误中吸取经验教训，提高免疫力，不再犯类似的错误.

一、概念不清，误认为正多边形都是中心对称图形

例1（2016年淮安卷）下列图形是中心对称图形的是（）

错解：选A.

错因诊断：错解认为正五边形是中心对称图形，这是不对的，因为它绕中心旋转180°后不与原图形重合.

正解：A、B、D三个选项中的图形都是轴对称图形，不是中心对称图形.C选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．选C．

温馨小提示：（1）判定一个图形是不是轴对称，可试着寻找对称轴，如果能找到对称轴，则是轴对称图形．（2）判定一个图形是不是中心对称图形，可试着将图形绕某一点旋转180°，如果旋转后能够与原来的图形重合，则这个图形就是中心对称图形．

二、推理错误

例2（2016年福州卷）如图1所示的两段弧中，位于上方弧的半径为r上，下方弧的半径为r下，则r上r下．（填“＞”、“=”、“＜”）

错解：∵上方的弧比下方的弧长，∴r上＞r下．

错因诊断：上方的弧比下方的弧长，但不能得出r上＞r下的结论，因为弧长不仅与半径有关，而且还与弧所对的圆心角大小有关.

图1

正解：根据生活常识可知，同样长的弧，弯曲程度越大，它的半径越小.由图1可知，上面一段弧的弯曲程度大，所以r上＜r下．

温馨小提示：要正确区分弧、弧的度数、弧长这三个概念，度数相等的弧长度不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念．

三、错把外心当内心

例3（2016年河北卷）图2为4×4的网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）

错解：如图2，点O是△ABC的边AC的垂直平分线和边BC的垂直平分线的交点，即点O是△ABC的内心.选D.

错因诊断：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，三角形三边垂直平分线的交点是外心，错解将外心与内心混淆，从而出错.

正解：选B.

图2

四、盲目迁移，忽视一弦对两弧

例4（2016年台州卷）如图3，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则弦AB所对的弧长等于．

错解：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，

错因诊断：在初中阶段，如果没有特殊说明，角都是指小于180°，这是一种约定．错解将这种约定迁移到弧中，认为弧所对的圆心角小于180°，而舍去了圆心角大于180°的情况，造成漏解．

图3

正解：同错解得∠AOB=80°，弦AB所对的弧有两种情况：（1）当为劣弧时，答案同错解；（2）当为优弧时，弦AB所对的弧长因此弦AB所对的弧长等于

五、不善转化，凭生活经验答题

例5（2016年金华卷）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射门点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.如图4的正方形网格中，点A、B、C、D、E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）

A.点C.B.线段DE（异于端点）上一点.

C.点D或点E.D.线段CD（异于端点）上一点.

错解：∵点C正对球门，张角最大，

∴在点C处射门最好，选A.

错因诊断：点C到球门AB的张角是否最大，需要论证，过A、B、D三点作圆，根据圆内角、圆周角及圆外角的性质确定出各射门点到球门AB的张角，比较各张角的大小确定答案.

正解：如图5，连接EA、EB、AD、DB、AC、CB，作过点A、B、D三点的圆，可以确定点E在圆上，点C在圆外，根据圆周角及圆外角的性质可知∠AEB=∠ADB＞∠ACB，

所以最好的射门点是线段DE（异于端点）上一点.选B.

温馨小提示：构造辅助圆，根据圆周角、圆内角及圆外角的性质确定各张角的大小，进而得出结论．

图4

图5

六、思考不周，造成漏解

错解：如图6所示，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∴∠OEA=∠OFA=90°，

∴∠OAE=30°，∠OAF=45°，

∴∠BAC=30°+45°=75°.

错因诊断：弦AB、AC相对于圆心O的位置有两种可能：在圆心O的同侧和异侧.错解只考虑了在圆心O异侧的情况，造成了漏解.

正解：弦AB、AC相对于圆心O的位置有两种可能：（1）当弦AB、AC在圆心O的异侧时，同错解（略）；（2）当弦AB、AC在圆心O的同侧时，如图7所示，此时∠BAC=45°-30° =15°.故∠BAC度数为75°或15°．

温馨小提示：画图要考虑各种情况，当图形不确定时，要分类讨论.

图6

图7