顽症还需下良药

张丽华

顽症还需下良药

张丽华

一元二次方程是初中数学的重要基础知识，它既是重点又是难点，更是中考热点之一，解题时稍有疏忽就会出现错误.下面我们来对典型“顽症”加以剖析，找到“对症”的“良药”，让我们走出“屡做屡错”的困境.

顽症一：忽略二次项系数a≠0，导致字母系数取值范围扩大

例1（2016·宜兴二模）如果方程（m-3）xm2-7-x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）.

A.±3B.3C.-3D.都不对

【病症】令m2-7=2得m=±3，选A.

【病因】做题时只关注了“未知数的最高次数是2”，忘了一元二次方程的定义要求二次项系数不为0.应选C.

例2（2017·宁夏）关于x的一元二次方程（a-1）x2+3x-2=0有实数根，则a的取值范围是_______.

【病症】a≥-

【病因】仍是只考虑了“判别式Δ≥0时有实数根”，忽略了一元二次方程的定义要求“a-1≠0”，即a≥-且a≠1.

【良药】这类“顽症”都需充分理解一元二次方程的定义，如果给出的方程二次项系数含有字母，切记“二次项系数不能为0”这一条件.

顽症二：对基本解法一知半解，导致错解

例3（2017·德州）方程3x（x-1）=2（x-1）的解为________.

【病症】将方程的两边同时除以（x-1）得x=

【病因】在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则会出现漏根现象.

【良药】按照解一元二次方程步骤：先移项，后分解因式，得到（x-1）（3x-2）=0，推出方程x-1=0或3x-2=0，求出方程的解x1=1，x2=

例4（2015·辽阳期中）一元二次方程4x2-x=1的解为_______.

【病症】运用公式法，因为Δ=（-1）2-4× 4×1＜0，所以原方程无解.

【病因】用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般式ax2+bx+c=0（a≠0），如果没有理解这一点胡乱套用公式，解方程时就会造成错误.

【良药】重视用公式法解方程的前提，先将方程化成一般式4x2-x-1=0，由Δ=（-1）2-4×4×（-1）=17，得方程特别要关注方程的形式特征，才能正确求解. .解一元二次

顽症三：未挖掘题目中的隐含条件，导致思考有疏漏

例5（2016·吴江）若（x2+y2）2-4（x2+ y2）-5=0，则x2+y2=_______.

【病症】令x2+y2=t，用换元法解得t=-1或t=5.

【病因】忽略了x2+y2的非负性，应舍去x2+y2=-1.

【良药】在用换元法解一元二次方程时，特别要关注换元整体隐含的取值范围，初中阶段常常涉及“||a≥0，a2≥0，a≥0”的非负性问题.

例6（2017·呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）.

A.2B.0C.1D.2或0

【病症】由根与系数的关系得x1+x2==-（a2-2a）=0解得a=0或a=2，选D.

【病因】当a=2时，原方程化为x2+1=0，Δ=-4＜0，方程无实数根.做题时忽略了隐含条件“Δ≥0”这一重要前提.因此选B.

【良药】在运用根与系数的关系（韦达定理）解答与一元二次方程的根有关的问题时，必须挖掘两大隐含条件：（1）方程必须是一元二次方程，即a≠0；（2）方程必须有实数根，即Δ≥0.

顽症四：混淆二次三项式与一元二次方程的配方，导致错误

例7（2016·东城一模）用配方法求2a2-4a-1的最小值是_______.

【病症】2a2-4a-1=a2-2a-=（a2-2a+1）-1-.当a=1时，原多项式的最小值是

【病因】一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.

【良药】2a2-4a-1=2（a2-2a）-1=2（a2-2a+1）-2-1=2（a-1）2-3，当a=1时，原多项式的最小值是-3.要注意等式变形与代数式变形的区别.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）