分式化简求值题面面观

袁劲松

纵观近年的中考试卷，可以发现分式化简求值题一直是考试的热点，现将有关分式化简求值的题型归纳如下，供同学们复习时参考.

一、直接运算型

例1 （2016·荆门）化简[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]的结果是（ ）.

A.[1x+1] B.[x+1x] C.x+1 D.x-1

【分析】先计算括号里面的分式加减，再把分式的除法转化为分式的乘法.

解：[xx2+2x+1]÷[1-1x+1]

= [xx+12]÷[xx+1]

=[xx+12]·[x+1x]

=[1x+1].

故选 A.

【点评】本题考查分式的运算，其中主要涉及分式的加减法和分式的乘除法，分式的加减法关键是化异分母为同分母，而分式的乘除法关键是把分式的除法转换为分式的乘法.

二、整体求值型

例2 （2016·毕节）若a2+5ab-b2=0，则[ba]-[ab]的值为 .

【分析】先根据题意得出b2-a2=5ab，再由分式的减法法则把原式进行化简，进而可得出结论.

解：∵a2+5ab-b2=0，

∴a2-b2=-5ab，

∴[ba]-[ab]=[b2-a2ab]=[5abab]=5.

故答案为：5.

【点评】本题是分式化简、整体代入求值的综合题，解题的关键是将所求式子进行变形，转化为b2-a2=5ab的形式.

例3 （2016·齐齐哈尔）先化简，再求值：[1-2x]÷[x2-4x+4x2-4]-[x+4x+2]，其中x2+2x-15=0.

【分析】先按照分式计算的顺序（先算乘除，再算加减）化简分式.再根据题目的需要，灵活运用条件x2+2x-15=0，代入求值.

解：原式=[x-2x]÷[x-22x+2x-2]-[x+4x+2]

=[x-2x]·[x+2x-2]-[x+4x+2]

=[x+2x]-[x+4x+2]

=[x+22-xx+4xx+2]

=[4x2+2x]，

∵x2+2x-15=0，

∴x2+2x=15.

∴原式=[415].

【點评】如果着眼点放在x的值上，认为求出其值才能代入，那整个计算就会非常繁杂，而用整体思想导航，将x2+2x=15整体代入，便简便了不少.

三、运算求值型

例4 （2016·咸宁）a，b互为倒数，代数式[a2+2ab+b2a+b]÷[1a+1b]的值为 .

【分析】先把第一个分式的分子因式分解，第二个分式通分相加，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值.

解：原式=[a+b2a+b]÷[a+bab]

=[a+b2a+b]·[aba+b]

=ab，

由a，b互为倒数可得ab=1，所以原式=1.故答案为1.

【点评】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的，结果中的分子、分母要进行约分，注意最后结果要化成最简分式或整式.再将具体数值代入求值，数字代入时不要忘了符号.

四、陷阱求值型

例5 （2016·西宁）化简：[2xx+1]-[2x+4x2-1]÷[x+2x2-2x+1]，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值.

【分析】根据运算顺序，应先算乘除，后算加减.根据除法运算法则进行计算，要用到平方差公式和完全平方公式进行分解因式，然后再算减法.对化简结果进行代值计算时要注意x的取值，既要保证最后化简的结果有意义，又要保证原式及运算过程中的各个分式均有意义.

解：原式=[2xx+1]-[2x+2x+1x-1]·[x-12x+2]

=[2xx+1]-[2x-2x+1]

=[2x-2x+2x+1]

=[2x+1]，

∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2，当x=1时分式无意义，因此x=0或2.把x=0代入，[2x+1]=2；把x=2代入，[2x+1]=[23].

【点评】当遇到分式化简求值，尤其是考题要求你选择一个喜欢的数代入求值时，千万要注意字母取值的限制.重要的是所有使分母等于零的值都不能取，使除号后紧跟分式的分子等于零的值也不能取，避免进入分式无意义的“雷区”.

（作者单位：江苏省海门市实验初级中学）