应用电容电阻模型研究大型成熟油田井间连通性

JAMALI Ali，ETTEHADTAVAKKOL Amin

（Texas Tech University,Lubbock,TX 79409,USA）

应用电容电阻模型研究大型成熟油田井间连通性

JAMALI Ali，ETTEHADTAVAKKOL Amin

（Texas Tech University,Lubbock,TX 79409,USA）

针对电容电阻模型在大型成熟油田应用时存在的问题，选用了生产井电容电阻模型（CRMP），提出了其在大型成熟油田的简化应用方法，并进行了实例分析。结合大型成熟油田的特征，给出了CRMP简化推导方法。通过优化求解方法缩短求解时间、提高收敛速率，包括应用全局优化算法，计算CRMP目标函数的解析梯度向量及Hessian矩阵并应用于解算器中，进行参数缩放等，使CRMP可以应用于大型油田。通过逐步历史拟合可提高CRMP模拟结果的可靠性。实例分析结果表明，采用该方法得到的连通性分析结果与生产实际相符，验证了该方法的可靠性。根据CRMP模拟结果，可以有效分析注入井与其周围生产井的连通性，并进行相关分析，例如判断哪些注水井可以改注二氧化碳以及某二氧化碳注入井是否适宜注二氧化碳等。图6表3参12

电容电阻模型；成熟油田；井间连通性；提高采收率

引用：JAMALI A,ETTEHADTAVAKKOL A.应用电容电阻模型研究大型成熟油田井间连通性[J].石油勘探与开发,2017,44(1):130-136.

JAMALI A,ETTEHADTAVAKKOL A.Application of capacitance resistance models to interwell connectivity of large-scale mature oil fields[J].Petroleum Exploration and Development,2017,44(1):130-136.

0 引言

通过研究注入井-生产井对来确定油藏特征的做法具有悠久历史，包括使用示踪剂测试、监测生产井对注入信号的响应等。有研究者采用统计方法，应用注采数据来确定井间连通性[1-3]。Yousef等[4]建立了数学模型来计算生产井对注入信号及井底压力变化的总产液量响应。该总产液量响应本质上是包含一组生产井和注入井的封闭控制体的质量平衡微分方程的解。模型包含一些未知系数，将生产响应与生产井的有效泄油体积、流体压缩系数、采油指数及注采井对之间的连通系数等关联起来，这些参数可以有效地描述油田的产液能力。由于该模型和用于描述电容器、电阻器系统内电流流动的方程之间具有独特的相似性，将该模型称作电容电阻模型（CRMs）。Sayarpour等[5]将质量平衡微分方程的求解扩展到3个不同的控制体，即全油田、一口生产井和一个注入井-生产井对，并结合电容电阻模型与分流模型预测每口井的产油量和总产液量。

在大型油田中，应用电容电阻模型有几个难点影响结果的准确性和可靠性。早期研究将油田规模限制在60口井以下，目的是保证被研究油田的优化问题可控。Weber等[6]提出了几种具有启发意义的方法来减小被研究油田的规模，包括去掉关停井、通过设定径向连通系数截断值来约束连通性等，并认为非线性回归结果可能更具有统计意义。Nguyen等[7]用线性化目标函数建立了集成电容电阻模型（ICR），认为由于该模型采用线性回归，所以无论拟合参数有多少，该模型都会向单一解收敛。

本文主要解决电容电阻模型应用于大型成熟油田时存在的一些问题，提出在大型成熟油田应用生产井电容电阻模型（CRMP）的简化方法，并将该方法应用于西德克萨斯Slaughter油田几个区块。

1 成熟油田特征

本文主要针对经历过足够长时间的水驱或二氧化碳驱，并具有以下特征的成熟油田。

①目前钻井作业很少，但是由于修井和维护作业多，注入井/生产井关井频繁。

②可以应用多种人工举升方法。不过大部分生产井都采用有杆泵，采用有杆泵保证了液面波动范围较小，因此井底流压变化范围也较小。

③油田井网较密，单井控制面积0.04～0.12 km2（10～30 acre），且无钻新井的计划。

由于已接近开发末期，此类油田通常面临产油量递减大、水或二氧化碳产量高及其他诸多问题。这类油田在其生命期内已经历了大量评价工作，此时应用电容电阻模型可以实现快速、低成本评价，在油田开发晚期最小化作业者的投资风险。本文应用电容电阻模型对大型成熟油田进行评价，并提出一些解决上述问题的建议。

2 大型成熟油田应用CRMP的简化方法

电容电阻模型的推导方法在相关文献中有详细报道[4-5]。本文参考了前人的方法，并基于微可压缩流体单向流假设提出了简化推导方法。流体的等温压缩系数定义为在温度保持不变的情况下流体随压力改变而发生的相对体积变化。考虑有注有采的任意油藏控制体（见图1a），假设该油藏系统主要为单相流体，用唯一的压缩系数ct描述该流体：

图1 基本电容电阻模型和生产井电容电阻模型示意图

对于一个仅包含一口生产井和一口注入井的封闭系统，系统中随时间而积累的流体体积等于流入流体与流出流体体积的代数和：

平均地层压力的确定通常需要进行试井分析，因此无法获得连续数据。尽管通常假设水驱开发的油藏具有稳态流特征，但是由于有频繁的注入井和生产井关井情况，导致该假设并不准确。因此，采用线性产能模型消除平均压力项，降低复杂性：

将（3）式代入（2）式，得：

定义时间常数τ为：

令et/τ=e∫(1/τ)dt为积分因子，得到（4）式的解：

2.1 离散化CRMP

为确定注采井之间的相互作用，将模型扩展到各生产井。假设注入井i注入的流体中有一部分流向生产井j（见图1b），用fij表示注入井i和生产井j之间的连通系数。

假设（6）式中井底流压pwf的变化可忽略不计。该假设的依据为：应用CRMP时，最好通过永久性井底压力计测量井底流压数据。然而，由于在老油田安装永久性井底压力计并进行定期记录成本很高，大多数老油田没有这样的数据。此外，美国陆上油田至少有90%的老井采用有杆泵，在安装有杆泵的情况下计算井底压力需要大量信息并开展很多分析，通常也难以做到[8-9]。Ettehadtavakkol等[10]研究发现，尽管缺乏井底流压数据降低了CRMP历史拟合质量，但是所得到的连通图基本不变且连通系数较高时相对误差较小，在缺乏井底流压数据的情况下根据这些高连通系数进行分析是可行的。

基于以上假设，生产井j在生产第k个月时（6）式的离散方程为：

假设在第k个月时确立了恒定的注入量Iik，则（7）式简化为：

在对流量项进行逐次代入后，生产井j在其生产第n个月末时的井底产量为：

（9）式即为逐次改变注入量但保持井底流压不变情况下生产井的电容电阻模型。为了简便起见，用时间变量的下标表示时间变量：

（10）式表明，生产井j对一系列注入信号Iik的响应是初始产量Qj1、生产井时间常数τj以及该生产井和各注入井之间的连通系数fij的函数，这些参数可以通过分析注采历史计算。

2.2 CRMP未知参数估算

以具有Np口生产井和Ni口注入井的一个成熟油田为例，该油田有井位图和月度配产、配注数据，估算CRMP未知参数，具体包括：生产井的时间常数τj、初始产量Qj1以及各注采井对之间的连通系数fij。注采井对之间的连通距离存在上限ri，超过该上限之后，注入井和生产井之间可能无法有效连通。将该连通距离上限视作注入井的影响半径，影响半径的大小主要由具有现场作业经验的地质专家和油藏工程师确定。

用最优化方法计算CRMP的未知参数。目标函数为：

应用未知变量的物理意义确定可行域，约束条件为：

此外，当rij大于ri时，fij小于f0。

上述最优化问题可在参数Qj1、τj、fij的取值范围内最大程度地缩小计算产量Qjn与实测产量Qjn,obs之间的差值。该最优化问题为大型、受约束、非线性问题，通过商业化非线性编程解算器应用内点算法进行求解。该问题的大型、非线性特点导致收敛困难和计算时间长，这两个问题在前人的研究中都未解决，本文将提出解决方法。

2.3 全局最小值和局部最小值

CRMP这类非线性最优化问题可以有多个局部最小值。因此，解算器可能不向全局最小值收敛，而向局部最小值收敛，具体向哪个最小值收敛取决于初始点。本文的目标是通过应用全局优化方法保证CRMP向全局最小值收敛。全局优化方法的缺点是可能需要很长的求解时间。解决该问题的关键是要充分相信CRMP目标函数在其可行域内是凸函数，且CRMP可行域具有凸性。若对应的Hessian矩阵为正定矩阵，则目标函数为凸函数[11]。如果目标函数和可行域均为凸，那么任意局部最小值都是全局最小值。建立了只有6口注入井和8口生产井10年数据的小型CRMP。该模型有64个变量、70个约束条件。局部优化解算器大约只需1 min即可向解收敛。全局优化解算器使用具有1 000组不同初始点的不同局部优化解算器求解，再通过对比不同的局部最小值得到全局最小值。初始点分布如图2所示。全局优化解算器完成从所有初始点开始的运行，都向同一个解收敛，且所有拟合参数的公差都在10-6以内。此外，笔者还计算了多个油田规模的CRMP，这些算例虽不能证明该最优化问题的凸性，但对于笔者计算的所有小型到大型CRMP问题，全局优化解算器都向唯一解收敛。

2.4 求解时间和收敛速率

解算器通常用有限差分法计算目标函数的梯度向量和Hessian矩阵，但是计算效率极低。本文提出了能够极大地缩短求解时间并提高收敛速率的方法：计算解析梯度向量和解析Hessian矩阵。

CRMP目标函数的解析梯度向量为：

CRMP目标函数的梯度向量以递推数列形式表示，具体表达式不再赘述。

约束条件的Hessian矩阵为拉格朗日Hessian矩阵。所有线性约束条件的Hessian矩阵均为零。因此，对于本文所讨论的不存在非线性约束条件的情况，只有目标函数对Hessian矩阵起作用。CRMP目标函数的解析Hessian矩阵为：

通过在解算器中引入解析梯度向量和Hessian矩阵，可以加快求解时间，提高收敛速率。对于具有超过500口井的大型油田，该方法将求解时间从几天缩短至几小时（所用的具体时间与ri的选择有关）。对西德克萨斯Slaughter油田4个区块采用Hessian矩阵和梯度向量得到的结果如图3所示。可以看出，随着井数的增加，迭代参数的个数增加，CRMP的求解时间也因此增加，而通过应用解析Hessian矩阵和梯度向量，收敛时间缩短90%～99%。对于Mallet这样的巨大区块，拟合参数超多（17 000个），应用解析Hessian矩阵和梯度向量后，收敛时间从预计几千小时缩短至3 h左右。

图3 利用本文方法对不同规模区块目标函数进行求解所需收敛时间

除了引入解析梯度向量和Hessian矩阵，还可以进行拟合参数缩放解决收敛问题、提高数值解的稳定性，而且在大多数情况下可以提高解的质量。CRMP中包含不同数量级的变量，解算器将对小变量分配更长时间，原因是目标函数对小变量的敏感程度高于对大变量的敏感程度，此时可以用缩放系数乘以大变量，使其与小变量在相同的数量级。

2.5 逐步历史拟合

电容电阻模型的假设为：线性单井产能、微可压缩流体、无生产井关井、无新钻井、无新完井。电容电阻模型还假设，在评价期内井间连通系数和生产井的时间常数为定值。实际上，由于转注、报废、维护计划改变、实施修井作业等，上述假设常常不成立。因此，给油田仅指定一个连通图或者仅用一个时间常数表征生产井的控制体是不正确的。

采用逐步历史拟合方法将油田的生产历史分解为时间较短的几个阶段，可以解释由于较大事件带来的变化，也可以对比求解结果。如果两次独立的分析都得到了相似的连通模式，那么结果就比较可靠。因此，对于每一口注入井，都得到了3～4个连通图，每个图涵盖8～12年的生产历史。如果一个注采井对至少在2个连通图上显示出较强的连通性，那么其连通系数就是可靠的。该方法虽然无法完全消除由于偏离理想假设而产生的误差，却可以极大减少引入虚假高连通系数的情况。

2.6 注入井影响半径计算

本文给出了根据CRMP计算注入井影响半径ri的方法。设定注采井对连通系数下限f0，以此给出影响半径约束条件，并通过现场专家给出的数据来确定ri的范围，然后应用不同的ri输入值运行CRMP模拟并监测历史拟合质量。图4为西德克萨斯Slaughter油田各区块历史拟合误差与注入井影响半径的关系。

图4 归一化历史拟合误差-影响半径关系

由图4可知，当ri值小于457.2 m（1 500 ft）时误差相当高，而当ri值在457.2～762.0 m（1 500～2 500 ft）时，误差大幅减小且趋于稳定。通过图4可以得到各区块的注入井影响半径。

3 实例分析

应用本文方法对西德克萨斯Slaughter油田（位置见图5a）的几个区块进行了井间连通性分析。Slaughter油田的一次采油和二次采油分别始于20世纪30年代和60年代，1985—1995年期间，开始在几个区块注二氧化碳。

图5 西德克萨斯Slaughter油田位置及East Mallet区块井位

本文分析的最大区块有多达400口井，通过应用本文提出的CRMP简化方法，可以很容易地处理这样的大油田。总共分析了大约300口注入井和500口生产井。

3.1 本文方法验证

图5b为Slaughter油田East Mallet区块的井位图，图中标出了注入井CTI01和该井周围的生产井。表1列出了对CTI01井的3个不同阶段运用CRMP得到的井间连通性分析结果。阶段1为1985—1991年、阶段2为1992—2004年、阶段3为2005—2013年，这些时间段根据全区块发生的主要生产作业（特别是从1992年开始注二氧化碳和从2005年起开始一系列修井作业）时间确定。2004年由于完井缺陷用P12井更新了P11井，因此将这两口井并作一口井（P11/P12井）。

表1 CTI01井与其周围生产井的连通性

由表1可知，CTI01井和P03、P04、P05及P11/P12井之间具有较好的连通性，但与其影响半径之外的生产井之间的连通性则很低。图6a展示了CTI01井的二氧化碳注入量及P04井和P05井的二氧化碳产出量。从1992年开始注二氧化碳起，注入量数次达到高峰。高峰二氧化碳注入量与P04井和P05井的高峰二氧化碳产出量对应，但产出高峰比注入高峰大约滞后6～12个月。此外，P04井和P05井的产油量（见图6b）表明，二氧化碳产出量高峰也伴随着产油量高峰，说明CTI01井注二氧化碳提高采收率非常成功。因此，采用本文方法运用CRMP模拟得到的连通性分析结果与生产实际相符，验证了本文方法的可靠性。

3.2 转注二氧化碳井优选

图5b还标出了East Mallet区块注入井I38及其周围的生产井。表2总结了I38井的CRMP连通性分析结果。由于完井缺陷，生产井P82更新为P80，因此将这两口生产井并作一口井（P80/P82井）。由表2可知，I38井与附近的生产井之间具有较高的连通性，但与其影响半径之外的生产井之间的连通性较低。在East Mallet区块生命期内，I38井一直为注水井，未注过二氧化碳。由于该井与周围生产井连通性好，且注入流体不会窜流到目的层之外，因此可以用该井注二氧化碳。建议用这类注入井试注1年二氧化碳，同时监测与之连通的生产井的生产响应，待证实有生产响应后再进一步通过该井注二氧化碳。

图6 P04井和P05井对CTI01井二氧化碳注入信号的产出量响应

表2 I38井与其周围生产井的连通性

3.3 二氧化碳无效注入井判断

图5b还标出了East Mallet区块注入井I23及其周围的生产井。表3总结了I23井的CRMP连通性分析结果，可以看出，I23井和周围生产井之间只有微弱的连通性，说明注入流体可能并未进入目标层。自1991年开始通过该井注二氧化碳以来，累计二氧化碳注入量已接近1.13×108m3（40×108ft3）。由于与周围生产井连通性弱，建议开展注入剖面测井，确定具体原因。

表3 I23井与其周围生产井的连通性

4 结论

电容电阻模型应用于大型成熟油田时存在问题规模大、求解时间长、收敛困难等问题，本文提出了解决办法。给出了生产井电容电阻模型（CRMP）的简化推导方法，对于该CRMP问题，全局优化解算器都向唯一解收敛。推导了CRMP目标函数的解析梯度向量和Hessian矩阵，并用于解算器，大幅缩短了求解时间，使CRMP可以有效应用于大型成熟油田，解决大规模计算问题。还可以通过拟合参数缩放、逐步历史拟合等使求解结果更可靠。通过实例分析验证了本文方法的可靠性。

符号注释：

ct——总流体压缩系数，Pa-1；f0——注入井与生产井之间实现有效连通的连通系数下限；fij——注入井i与生产井j之间的连通系数；I——系统注入量，m3/s；Ii——注入井i的注入量，m3/s；J——采油指数，m3/（Pa·s）；N——数据点个数；Ni——注入井数；Np——生产井数；pwf——井底流压，Pa；平均地层压力，Pa；Q——系统产出量，m3/s；Qj——生产井j的产出量，m3/s；ri——注入井的影响半径，m；rij——注采井对之间的连通距离，m；t——时间，s；t1——初始时刻，s；vp——孔隙体积，m3；ξ——积分变量；τ——时间常数，s。下标：i——注入井序号；j——生产井序号；k——次级时间序号；l——次级生产井序号；m——次级注入井序号；n——时间序号。

[1]HEFFER K J,FOX R J,MCGILL C A,et al.Novel techniques show links between reservoir flow directionality,earth stress,fault structure and geomechanical changes in mature waterfloods[J].SPE Journal,1997,2(2):91-98.

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（编辑 胡苇玮）

Application of capacitance resistance models to interwell connectivity of large-scale mature oil fields

JAMALI Ali,ETTEHADTAVAKKOL Amin
(Texas Tech University,Lubbock,TX 79409,USA)

In view of the problems existing in the application of Capacitance Resistance Models (CRMs) to large-scale mature oil fields,Capacitance Resistance Model for Producers (CRMP) was selected for analysis,a simplified procedure for applying CRMP to large-scale mature oil fields was proposed,and some examples analyzed.A simplified derivation for CRMP was presented with consideration of characteristics of large-scale mature oil fields.Several strategies were presented to optimize the solution method,in order to shorten the solution time and speed up convergence rate.These include the implementation of a global optimization algorithm,parameter scaling,analytical development of gradient vector and Hessian matrix of the CRMP objective function and so on.These improvements enable the application of CRMP to large-scale problems.Stepwise history matching was shown to be an effective technique to improve reliability of the analysis.Example analysis results show that,the connectivity got by the presented method agrees with the practical production,which proves the reliability of the presented method.The connectivity of an injector to the nearby producers can be analyzed based on the CRMP simulation results,and the analysis results can be used for related study,such as determining current water injectors suited for CO2 injection,or current CO2injectors not suited for CO2injection.

capacitance resistance model; mature oil field; interwell connectivity; enhanced oil recovery

TE357.6

：A

1000-0747(2017)01-0130-07

10.11698/PED.2017.01.16

JAMALI Ali（1989-），男，伊朗人，德州理工大学在读博士研究生，主要从事老油田增产方法研究。地址：2500 Broadway,

Lubbock,TX 79409,USA。E-mail：ali.jamali@ttu.edu联系作者：ETTEHADTAVAKKOL Amin（1984-），男，伊朗人，博士，

�期：2016-06-22

2016-11-28

德州理工大学助理教授，主要从事提高采收率、油藏工程等方面的研究。地址：2500 Broadway,Lubbock,TX 79409,USA。E-mail：amin.ettehadtavakkol@