习题课教学中注重学生数学认知结构的完善

段如甜

【摘要】习题课教学是高中教学阶段必不可少的一部分，数学只有融入数学解题中才能促进对知识的深刻理解，并在解题中不断发展和完善学生数学认知结构.然而目前的习题课教学中存在的问题主要有：知识点的简单梳理、解题过程缺少探索、缺乏解题后的反思，为发挥习题课的重要功能，本文试着以2016年新课标全国卷Ⅲ文科数学试题为例，探索如何在习题课教学中完善学生的数学认知结构.

【关键词】数学认知结构；解题教学

一、高中数学习题课教学现状

习题课作为高中教学环节中的重要组成部分，且数学概念、命题、公式定理只有融入一定量的数学解题中才能得以理解和巩固，其作用不言而喻.但实际的习题课教学效果并不显著，普遍存在下面三方面的不足：对数学知识点的梳理回顾往往停留在简单的罗列，缺少对知识间纵向与横向联系的总结；例题讲解上注重解题思路的清晰化，但忽略对解题思路发生点寻求过程的充分暴露；单纯的解题，缺少对解题后的反思与归纳.以上种种将致使教学效果事倍功半.

二、数学认知结构的内涵

数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中所形成的观念的内容和组织[1].布鲁纳说，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”[2]，即学习应先建立学科基本结构.奥苏泊尔则把建立具有概括性的认知结构作为教学的首要任务，这些都指向认知结构在学习中发挥着强大的作用，因此，在数学教学中需要时刻注重完善学生数学认知结构.

三、高中数学习题课教学中学生数学认知结构的建构

解题前，对解题需要的知识点罗列梳理时，不仅要梳理陈述性知识，还要详细梳理程序性知识和策略性知识，这样在对知识的量进行积累的同时，也对知识进行良好的组织；解题中，展示解题全过程，充分暴露解题思路的寻找过程，遵循认知发展规律，强化学生的认知结构；解题后，引导学生及时反思，梳理解题关键点、涉及的知识点，对知识进行精加工，形成知识组块，以扩大认知成果，完善数学认知结构.

四、课例分析

（2016·新课标全国卷Ⅲ文科）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

正确解答本题所需知识点罗列如下：

（1）陈述性知识：抛物线标准方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系，证明线平行，求点的轨迹方程.

（2）程序性知识：要得到AR∥FQ，需要AR∥FQ（或者kAR=kFQ）；得到AR∥FQ（或者kAR=kFQ），需要A，R，F，Q四点的坐标；得到A，R，F，Q四点的坐标，需要设出直线l1和l2的方程；由F在線段AB上，得到点F满足直线AB的方程.

（3）策略性知识：根据两个向量平行推证两条线段平行；利用三角形面积之间的关系分类讨论、中点的限制条件列出方程得到中点的轨迹方程.