导数在高中数学解题中的有效应用

徐达

【摘要】高中数学学习中，导数是数学学习中的最基本的内容，也是微积分学习的关键内容.新课程标准改革后，导数概念被引入高中数学中，不仅是高考考试的热点，也逐渐被应用在数学题解的过程中，由于导数蕴含丰富的数学知识，应用在数学解题的过程中，不仅能够降低数学理论的难度，提高数学解题的效率，还能够提高学生数学学习的积极性.数学解题中应用导数知识，对当今的高中数学解题提出新要求.文章主要针对高中学生，分析在数学解题中如何应用导数知识，对高中数学解题过程中的导数应用实例进行探讨，提高学生的解题效率以及扩展学生的思维，培养学生的创新实践能力.

【关键词】高中数学；导数；解题；应用

近年来，随着我国新课程标准改革的实现，现代教育形式逐渐发生改变，高中数学课本的编撰中逐渐增加了很多的内容，其中导数就是新增加的内容，导数也逐渐成为现代教育的重点和高考考查的重点.导数知识应用在高中数学解题的过程中，主要提高了函数问题、不等式问题等的解决效率.学生要想更好地解决问题，首先，要牢固掌握导数的基础知识，能够在实际数学解题的过程中灵活运用知识，提高数学解题的效率，降低数学解题的难度，在实际的解题过程中，定时对导数知识进行复习，提高知识的灵活运用能力.

一、导数知识在解决高中数学题中的应用

在数学解题中，解题方式主要经历三个步骤：首先，分析题意，主要是将抽象化的问题形象化、具体化，找出题中的干扰条件；然后，建立模型，一般模型都是应用数学方法来建立的，通过建立模型来找出数学问题，确定数学题目中的自变量与因变量，明确待求量与已知量之间的关系，并将数学题目等相关问题表现在模型中；最后，模型建立成功后，进行结果的求解，一般都是通过题目提供的信息，来列出正确的数学表达式，进行求解.

在函数极值的求解上，一般都运用导数知识进行求解.在函数极值的求解中，应该了解极值是在特定的条件下求解的.在具体的解题中，应该注意讨论特殊条件下的变量，这种情况下，高中数学解题增加了学生的解题难度，针对这种情况，就要重视数学知识、技能的合理应用.

在高中数学知识的求解中，要注意及时巩固导数知识，不仅是对导数的概念进行分析，要将其形象化，还要了解导数的性质，在高中数学解题过程中，导数的性质运用最为普遍，一般都在求导的过程中，找到题目的突破口，减少题目干扰项的影响.导数应用在高中数学解题中，不仅巩固导数等相关知识，还促使高中数学知识与大学知识的连接，减少高中数学知识的学习难度.

二、导数知识在函数问题解题过程中应用具体案例分析

函数极值的求解中，应用导数知识，能够简化函数极值求解的程序，同时导数的条理性能够促使数学问题更加简明.

例1求函数f（x）=x2（x+2）在定义域[-5，10]上的极值.

解析高中数学学习中，函数的极值求解问题既是难度最大的，也是高考考试的热点问题.在实际求解的过程中，函数极值一般都是区间（参数）范围上，通过分段进行求解的.函数极值求解主要是运用导数知识对函数的区间范围进行讨论，由于函数区间分段较多，每一区间的求解比较困难，所以在很多时候，会增加求解的难度.在极值的求解上，运用导数性质，将函数的一阶导数设为零，在确定一个条件的基础上，求出区间内的最值，判断函数最值的单调性，然后进行分段函数的求解，计算最值.

解题过程如下，令f′（x）=0，有x（3x+4）=0，x=0或者x=-43，区间分为三段，分别是以下三种情况：

当区间控制在-5，-43，f′（x）>0时，则f（x）在区间上单调递增，

当区间控制在-43，0，f′（x）<0时，则f（x）在区间上单调递减，

当区间控制在（0，10]，f′（x）>0时，则f（x）在区间上单调递增.

由此，求解函数的极值中，极大值点为x=-43，极小值点为x=0.

例2已知函数f（x）=xlnx-2x+a，其中a的取值范围确定为全体实数，判断函数的单调区间.

解析本题主要是解决函数的单调性问题，在实际求解的过程中，能够借助函数图像进行展示.在函数单调性求解的过程中，主要是求解函数的最小值，当a<函数最小值，则直线y=a与函数图像没有交点，则求解的即为参数a的最值.

利用导数知识，求解函数的导数f′（x）=lnx-1，令f′（x）=0，得lnx-1=0，则x=e，函数的定义域为（0，+∞），令f′（x）>0，则x>e，函数f（x）呈现出单调递增的态势；令f′（x）<0，则x处在0到e的范围内，函数f（x）呈现出单调递减的态势.

在函数问题中，应用导数知识，简化了函数求解的步骤，降低函数求解的难度，灵活地运用导数知识，不仅巩固了该项知识，也让学生能够在函数问题中，“举一反三”地运用知识，开发自身的学习潜能，降低学习难度，减轻课业负担.

三、导数知识在曲线切线问题解答中应用的案例分析

在几何问题中，应用导数知识进行题目的求解，能够降低难度，简化求解步骤，增加数学解题的效率.一般在几何问题中，导数知识主要应用在取切线题目中.在切线方程的求解中，应用导数知识，能够更好地对坐标点进行判断，切线方程的最基本求解方式为：

已知曲线C：y=f（x），曲线经过点M（x1，y1），求过点M的切线方程.在切线方程的求解的过程中，应用到导数的概念以及性质，在这个问题的求解中，首先，要判断点M是否在曲线上，需要分类讨论，然后，通过导数f′（x）的基本性质来进行求解.不论是函数问题还是曲线、切线的求解问题，都要讨论，讨论完成后，分别对多种情况的结果进行分析，由此判断曲线的切线方程.

例3有直线P：x+4y-4=0，有曲线C：y=x4，其中直线P与曲线C的一条切线N相互垂直，求曲線的切线N的方程.

解析根据题目的要求，了解到在实际求解的过程中，应用到了导数知识，首先，对题目进行分析，题目提供三个条件，分别是x+4y-4=0（直线），y=x4（曲线），切线N（与曲线相切，并与直线垂直），在这些信息中判断想要提出的条件，求出直线P的斜率，由于P与N垂直，由此求出直线N的斜率，然后求出曲线的导函数，设置导函数的具体值，求出与曲线相切的切点，根据切线N的斜率与切点坐标来共同求切线方程.

求解过程如下：

y=x4的求导结果为y′=4x3，直线P的斜率为-14，由于P与N垂直，两者斜率相乘得-1，由此可得切线N的斜率=4，令y′=4x3=4，即可求出x=1，由此能够得出切线与曲线的切点坐标为（1，1），确定了切点的坐标与切线的斜率，即可求出切线方程为y=4x-3.

在切线方程的求解过程中，主要是运用导数知识来求解切点，通过切点与斜率共同解决问题，在整个求解过程中，循序渐进，上一步的求解为下一步做好铺垫，通过导数的突破口，简化了切线的求解过程，为数学解题创造出更多的思路，开阔了数学命题的空间.

三、结语

要想更好地运用导数知识，对导数的概念、性质等基础知识，应深入理解，提高高中数学解题中导数知识灵活应用的能力，简化高中数学函数解题的程序，提高导数知识的应用水平.

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