数论知识融入高考试题成新热点

【摘要】数论知识在近年悄然渗透到高考数学之中，命题者编制出不少典型且巧妙的试题，使高考数学与自主招生甚至竞赛数学拉近了距离.文章从取整函数、不定方程、奇数与偶数、倍数与余数、同余与剩余几个方面，介绍数论常被考查到的知识点，探究融入数论知识的高考数学试题的解题方法与策略.

【关键词】数论；取整函数；不定方程；奇偶分析；同余

数论知识原是数学竞赛内容，近年悄然融入到高考数学试题之中，先是在选择填空题中占一席之地，后来登堂入室解答题甚至压轴题，与数列、函数、不等式知识联袂出现，蔚然成为高考数学的新热点.这类试题覆盖面广、构思精巧、难度较大，深入研究这类试题很有必要.本文试图通过数论知识分类，探讨此类试题的解题思想与解题方法.1取整函数

取整函数也称为高斯函数，用符号[x]表示，定义为不大于x的最大整数； 取整函数常考查到的知识点与性质有：

2不定方程

变量取整数的方程称为不定方程，不定方程是数论中一个十分重要的课题[1].一般多元一次不定方程用辗转相除法.其他不定方程的类型很多，解题大多用到奇偶分析法、因式分解法、分類讨论法、换元法、构造法、无穷递降法、不等式估计法、同余法等.不少不定方程求解难度很大，甚至成为世界难题.

例2（2007年高考湖北理科数学第21题）已知m，n为正整数，

综上，不定方程的解只有n=2，3.

评注求解不定方程用到了不等式估计法与分类讨论法.第（Ⅲ）题是埃斯柯特问题的一个特例.我国数学家柯召与孙琦曾经研究了更一般的不定方程：xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n，获得了较重要的成果[2].

3奇数与偶数

4倍数与余数

设a，b∈[WTHZ]Z[WTBX]，存在唯一的整数对（q，r），使a=bq+r，其中0

（1）a|b且b|ca|c；（2）a|b，a|ca|xc+yb（x， y∈[WTHZ]Z[WTBX]）；（3）（a，b）=1，且

a|c，b|cab|c；（4）若（a，b）=1，a|bca|c.

例4（2015年高考北京理科数学第22题）已知数列{an}满足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*，a1≤36，且an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，2an-36 ，an>18，[JB）]（n=1 ，2 ，…）

.记集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}.

（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值.

解（Ⅰ）由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]可知：a1=6，a2=12，a3=24，a4=12， 所以M={6，12，24}.

（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]，可用数学归纳法证明对任意n≥k，an是3的倍数.当k=1时，M中的所有元素都是3的倍数；如果k>1时，因ak=2ak-1或2ak-1-36， 所以3|2ak-1，又（2，3）=1，于是3|ak-1，即ak-1是3的倍数.类似可得，ak-2，…，a1都是3的倍数，从而对任意n≥1，an是3的倍数.因此，M的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由于M中的元素都不超过36，由a1≤36，易得a2≤36，类似可得an≤36，其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由an的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，由定义可知，an+1和2an除以9的余数一样.

（1）若{an}中有3的倍数，由 （Ⅱ）知，所有的an都是3的倍数，所以an除以9的余数是3，6，3，6，…，或6，3，6，3， …，或0，0，0，0，….而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M中的数从第3项起最多2项，加上前面的2项，最多4项.

（2）{an}中没有3的倍数，则 an都不是3的倍数，对于a3除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从a3开始an除以9的余数是1，2，4，8，7，5；4，8，7，5，1，2；…，不断的6项不依次序重复出现（可能从2，4，8，7，或5开始），从而知除以9的余数只能是1，2，4，5，7，8且为4的倍数（不大于36），只有28，20，4，16，32，8，所以M中的项加上前面2项最多有8项.而a1=1时，M={1，2，4，8，16，32，28，20}，项数为8，所以集合M的元素个数的最大值是8.

评注第（Ⅲ）题也可以用穷举法来解，因为a1≤36，讨论还不算太繁杂.发现数列{an}的周期性，是解决这一问的关键.讨论数列{an}每一项被9除的余数，使解题过程化繁为简.5同余与剩余类

同余的定义：设m≠0，若m|（a-b），即a-b=km，则称a同余于b模m，b是a对模m的剩余，记作a≡b（mod m）.剩余类定义：设m∈[WTHZ]N[WTBX]+，把全体整数按其对模m的余数r（0≤r≤m-1）归于一类，记为Kr.每一类Kr（r=0，1，2，…，m-1）均称为模m的剩余类.同一类中任一数称为该类中另一数的剩余.K0，K1，…，Km-1是模m的完全剩余类.这里常被考查到的结论有：（1）a≡b（mod m），b≡c（mod m）a≡c（mod m）；（2）a≡b（mod m），c≡d（mod m）a+c≡b+d（mod m）；（4）a≡b（mod m），c≡d（mod m）ac≡bd（mod m）.例5（2015年高考江苏数学第23题）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n}（n∈[WTHZ]N[WTBX]*），Sn={（a，b）|）a整除b或b整除a，[JB（]a∈X，b∈Yn[JB）}]，令f（n）表示集合Sn所含元素的个数.

（1）写出f（6）的值；

（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明.

解（1）根据题意按a分类计数：a=1，b=1，2，3，4，5，6；a=2，b=1，2，4，6；a=3，b=1，3，6；共13个，所以，f（6）=13.

综上所述，结论对一切满足n≥6的正整数n均成立.

评注第（2）题按命题者的意愿，要求考生先由不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法证明，但这样要求，反而限制了学生的思维发散.

从上面的例题可以看到，数论知识在高考试题中的渗透比较深，不少题难度比较大.如果从来没有进行过数论知识的培训，不了解数论中的方法与技巧，学生要想在这些题上拿到高分是很不容易的.因此，我们在平时的教学中，应该注意使用好选修教材《初等数论》，开阔学生的视野，做到有备无患.

参考文献

[1]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，1998.

[2] 柯召，孙琦.关于方程xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n[J].四川大学学报（自然科学版），1962（2）：9-18.

作者简介

郝保国（1958—），男，湖南祁东人，数学高级教师；主要研究方向是课程、教材、教法、竞赛等；华南师大校外硕士生导师，广东省优秀教师；在《数学传播》、《中学数学杂志》等刊物共发表论文86篇，辅导学生获国际数学奥林匹克竞赛金牌1人次.