浅谈合同变换与平面几何辅助线聂士朋

聂士朋

摘 要：解证平面几何问题是中学数学学习的重要组成部分，找到已知量和未知量之间的关系是解决题目的关键，辅助线的构造可以释放隐藏条件，揭示几何图形的实质和因素之间的联系。在中学数学学习中，合理的构造辅助线是学生学习的难点，中位线、中线、高线等一些辅助线的构造相对简单，但一些题目的解证需要更加巧妙的辅助线才能得到合理的方法和清晰的思路。合同变换是联系不同图形之间的桥梁，利用合同变换，可以构造一些特殊的辅助线，发挥特殊的作用，使问题化繁为简，从而得到解证。

关键词：中学数学；平面几何；合同变化J辅助线

中学阶段，几何问题的学学习从某种意义上来说，我们是用静的观点进行学习的，构造辅助线，就是一中初等几何的变换，在这个意义上，本文是用动的观点来学习几何学[1]。

本文先说明关合同变换的一些概念和性质，然后引用例题介绍了平移、旋转、对称三种合同变化在解证平面几何问题时的应用。

合同变化是指平面到自身的变换，对于平面上任意两点之间的距离保持不变。

合同变换主要有平移、旋转、对称三种形式。

一、平移

平移的定义：对于平面上的任意一点P变换到P，使得射线PP有固定的方向和固定的长度，则这个平面到它自身的变换叫做平移变换，通常记为T（）。

平移变换有以下性质：

1.平移变换下两点之间的距离保持不变。

2.平移变换下，直线变成与之平行的直线。

3.平移变换为合同变换，具有合同变换的所有性质（同素性、结合性、顺序性、平行性、正交性、对应线段、三角形合同）。

在平移变换T（）下，把X变换到X，可表述为：

在构造辅助线时，平行线的依据就是平移变换，它可以联系两条看似无关的直线或者线段。

例1、如图：已知P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA，PB，PC，PD为边可构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的一半。

分析：要证明这个问题，只要证明PA，PB，PC，PD四条线段可以连接为首尾相连的凸四边形而不改变线段的长度，构造辅助线，使得四条线段尽可能的联系在一起，是解决问题的关键，证：做平移变换T（），使得：

由P得P，连接PB、PC。

由平移变换得PD//CP且PD=CP，AP//BP且AP=BP。则线段PB、BP、PC、CP连接为四个首位相連的线段，也就是PA、PB、PC、PD可连接为一个凸四边形BPCP。由平移得AB=CD=PP，则

令平行四边形ABCD的面积为S1、凸四边形PBPC的面积为S2则：

得证。

二、旋转

旋转的定义：平面到自身的变换，使点O变换到本身，其他任何点X变换到X，并且有OX=OX，∠XOX=θ，从射线OX到OX的方向与已知θ角的定向相同，这个变换叫做绕中心O，按已知方向θ角的旋转变换，记作R（O，θ）。 平移变换有以下性质：

1.旋转变换满足合同变换的一切性质，在合同变换下，任两点距离不变，线段中点不变。

2.旋转变换下任两对应直线的夹角大小不变，都等于其旋转角。

在旋转变换R（O，θ）下，X变成X，可表述为：

利用旋转变换构造辅助线，可以明确角度、线段的相等关系，连接不同位置的未知量，为释放隐藏条件提供依据。

例2、如图：在直角三角形ABC中，M为斜边AB的中点，过M点引互相垂直的两直线，交AC、BC于点P、Q，试证明PA2+BQ2=PQ2。

分析：三角形ABC为直角三角形，所证问题的形式与勾股定理相似，不妨试着等量替代三条边，即PA、BQ、PQ。

证明：以P为旋转中心，做旋转变换R（P，180°），由Q得到Q，连接AQ、PQ、PQ。

由旋转变换得PQ=PQ，MQ=MQ，由于AM=BM，∠BMQ=∠AMQ，得所以AQ=BQ且AQ//BQ

三角形ABC为直角三角形，∠ACB=90°，所以∠QAC=90°。

在直角三角形APQ中，AQ2+AP2=PQ2，即BQ2+AP2=PQ2，得证。

三、对称

对称的定义：一个平面点集到自身的变换，把平面上的每一个点变换到它关于给定直线g的对称点，这个变换叫做直线反射变换或对称变换，记作S（g）。

对称变换有以下性质：

1.在直线反射变换下，两点之间的距离不变。

2.直线反射变换下，角的大小不变，但方向相反。

在直线反射S（g），X点变换到X点，记作：

在旋转的角度来看，对称变换是关于某个定点的180°旋转变换，但在解决问题时，这个定点并不容易刻画，采用对称变换则解决了这个问题。

例3、如图：在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD=CD，求证：∠B=2∠C。

分析：在已知条件中，AB+BD=CD，由此可想到等边对等角这个基本性质，此题的难度在于通过辅助线构造同一三角形中相等的线段。

证明：做直线AD的反射S（AD），由C得C，连接BC，AC。

由直线反射得CD=CD，AC=AC，AB+BD=CD，则DB+BC=AC，AB=BC，则∠C=∠CAB，∠C=∠C

∠ABC=∠BAC+∠C=2∠C=2∠C，得证。

运用合同变换下的不变量和不变性质，是解证几何问题，使其“运算化”的重要思想，从上述例题中可以看出，添加辅助线的时候，要从已知条件出发，利用已经掌握的知识围绕几何图形找联系、看变化，从而正确添加辅助线[2]。合同变换的应用可以为添加辅助线提高良好的思路，但只有通过不断地积累，才能更好的掌握合同变化在构造辅助线时的应用。

参考文献：

[1]胡杞，周春荔.初等几何研究基础教程[M].北京师范大学出版社.1988年.

[2]王长明.怎样添加平面几何辅助线[M].中国致公出版社.2003年.