具有扩散和随机扰动的捕食-被捕食系统的正解存在性

张岚+祖力

【摘要】我们将考虑一个具有随机扰动的捕食-被捕食模型，其中食饵分布在n个斑块（n≥2）中。对任何正的初始值，我们给出系统存在唯一一个正解和矩有界的充分条件。

【关键词】捕食-被捕食系统 正解存在性

1、介绍

由于捕食-被捕食现象的普遍存在性，学者们越来越多的关注其动态关系。然而，由于人类活动的日益泛滥及环境的急剧变化，许多生物物种的栖息地已被分隔成孤立的斑块。在这些斑块中，没有来自其他斑块的贡献，物种就将要灭绝。最近，人口生物学中扩散现象成为物种的生存是一个重要研究的课题。

李和帅考虑了下面的模型

（1.1）

其中，xi , yi分別表示食饵和捕食者的密度。模型中的参数都是非负的常数，ei , εi均是常数。常量 djj是从第j个斑块到第i个斑块的扩散率，并且常量aij可以根据不同边界条件的扩散情况适当选择。令(dij)表示n×n扩散矩阵。通过构造李雅普诺夫函数,并利用图论,李和帅证明系统存在唯一一个全局渐近稳定性的一个正平衡点，并得到如果(dij)是不可约的并且存在i使得bi> 0或δi> 0，则正平衡点是存在的结论。

上面提到的模型是一个确定性模型，假设参数的模型不管环境如何变动都是确定不变的。事实上，种群动态是不可避免的受到环境白噪声的影响,比如天气和流行疾病。因此,确定性模型往往受到随机扰动，这是有益于揭示噪声对人口系统的影响。有一些学者研究了动态随机扰动的捕食-被捕食模型。但是，直到现在，很少有人研究在白噪声及扩散影响下捕食-被捕食系统的动态行为。然而，在自然界中，扩散现象和环境白噪声是普遍存在的。因此,我们要在捕食系统的基础上研究随机扰动的影响,本文的研究内容具有重要意义。

本文中我们将考虑 在系统(1.1)每个方程都引入对内禀增长率的随机扰动：

（1.2）

其中B1i和Bi(t)是相互独立的布朗运动，正常数σ1i，σ2i分别代表白噪声的强度。于是，上述随机系统变为以下形式:

(1.3)

在本文中,我们假定dij是非负的常数，(dij )不可约，并且参数ri , γi , bi , ei , δi , εi 都是正常数。

本文主要利用构造李雅普诺夫函数来证明正解矩有界性。规定当，令( Ω, {Ft }t≥0 ,P) 是一个满足通常条件{Ft }t≥0的全概率空间 (即，它是右连续的并且F0包含所有零测度集)。令R+2n表示R2n的正锥，即,R+2n={( x1 , y1 ,..., xn , yn ) ∈ R2n： xi > 0, yi > 0,i= 1, 2,..., n}。为了在下面的讨论中方便、简单,令

。

2.全局正解及矩有界性

为了保证一个随机微分方程具有全局正解（即在任何有限的时间内，不爆破），这个方程的系数通常需要满足线性增长条件和局部李普希兹条件。然而，随机微分积分方程(1.3)的系数不满足线性增长条件，尽管他们是局部李普希兹连续的，所以在有限的时间里方程（1.3）的解可能会爆破。在本文中，我们将证明方程(1.3)的任何正初始值的解不仅是正的，而且在任何有限的时间内也不会的爆破。

定理2.1对于任何给定的初始值X(0) ∈R+2n,随机随机微分方程(1.3)都有唯一一个正解X(t)，解在R+2n中的概率为1。

定义2.2随机随机微分方程（1.3）的解X(t)称为是随机最终有界的,如果对于任何ε∈（0，1），存在一个正常数x(=x(ε))，使得对于任何初始值X(0)∈R+2n，随机微分方程（1.3）的解X(t)有下面的性质：

（2.1）

引理2.3对于任何给定的初始值X(0)∈R+2n，存在正常数k(p)，pi和qi(i=1,2,……,n)使得随机微分方程（1.3）的解X(t)具有如下性质:

, , （2.2）

证明：通过伊藤公式和Young不等式，我们计算

和

这里的ki(i=1,2,……，n)是待定的正常数。因此,对于正常数pi，qi我们有

下一步，我们将寻找适当的pi> 0，qi > 0,和ki> 0 ，使得

， （2.3）

事实上, 当m是一个足够大的正整数，我们只需要0

（2.4）

很明显 , ，则有

将上式从0到t积分，再求期望，我们得到

因此，令 ，我们有

注意到,这个方程的解

满足

通过比较定理,我们可以得到

这意味着存在一个T>0，使得

此外，由于 是连续的,所以我们有

令 ，故有

证明完毕。

定理2.4满足初值问题 的随机微分方程 (1.3)的解是随机最终有界的。

证明：由定理2.1可知，解X(t)存在于R+2n的概率为1。令

。

注意到， 和

，因此,可以得到

我们有

应用切比雪夫不等式可得所需的证明。