二阶张量的特征问题

王 帅， 杨恩孝

(长春光华学院基础教研部，吉林长春 130033)

二阶张量的特征问题

王 帅， 杨恩孝

(长春光华学院基础教研部，吉林长春 130033)

本文对二阶张量的特征值与特征向量(函数)展开研究，并在此基础上研究了对称二阶张量的特征值与特征向量，得到了一些较理想的结果．通过线性变换找到了在不同基底下的二阶张量的特征．

二阶张量；特征值问题；线性变换

1 二阶张量概念与运算

(采用Einstein求和约定).

既然是物理量和几何量,它们表述的事实就应该与坐标系的选取无关， 这就是张量的不变性.但在不同坐标系下,它们的分量却不同.只有在坐标系变换下,张量分量遵循确定的变换规律才能表述张量的不变性.

(1.1)

式中Aii′Ai′i是变换系数,

(1.2)

Aij′Aj′j=δij,Ai′jAjj′=δi′j′， (i=1,2,3;i′=1′,2′,3′).

(1.3)

σi′j′=Ai′iAj′jσij, (i=1,2,3,;i′=1′,2′,3′),

(1.4)

(1.5)

(1.5)式正好表明张量的不变性.

张量的点积

是一阶张量,这与用张量分量的缩并运算σijuj是相同的.

2 二阶张量与线性变换

(2.1)

(2.2)

(2.3)

有

σi′j′=Ai′iAj′jσij.

2.2 二阶张量的特征值问题

因为方程

(2.4)

(2.5)

亦即

(2.6)

(2.7)

确定.

2.3 对称二阶张量的特征值与特征向量

于是

而

因此

σ(α)(β)=e(α)ie(β)jσij

又因为

(σij-λ(α)δij)e(α)ie(β)j=0,

则有

σije(α)ie(β)j=λ(α)e(α)ie(β)i,

因此

即有

(2.8)

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[责任编辑 胡廷锋]

The Characteristics of Second Order Tensor

WANG Shuai， YANG En-xiao

(Basic Research Section, Changchun Guanghua University, Changchun 130033, China)

In this paper, we study the eigenvalue and eigenvector (function) of second order tensor. On this basis, we obtain some ideal results for the eigenvalues and eigenvectors of symmetric second order tensor. The characteristics of two order tensors in different bases are found by linear transformation.

second-order tensor; Eigenvalue problem; linear transformation

O151．24

A

1009-4970(2017)02-0023-03

2015-02-03

王帅(1985—)， 男， 满族， 吉林长春人， 硕士， 讲师. 研究方向： 系统分析与建模.