淡化概念显本质经历过程促理解

黄天飞

[摘 要]对“三角形的高”这一概念的教学，一直以来都是小学数学“图形与几何”知识中的难点。为了突破这一难点，立足于教学实践，从“源头知识”的内在联系、“相关知识”的呈现沟通以及“本位知识”的动态发展三个方面对这一概念教学提出了相应的教学策略。

[关键词]概念；本质；经历过程；理解；三角形的高

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0033-02

日前，由朱乐平老师领衔的“一课研究”公众号发布了针对“三角形的高”这一概念教学开展的相关研究，该研究主要从“三角形的高”的概念属性、前测与分析、教学策略三个方面进行了详细阐述，并在教学策略中提出了“探寻学生‘前数学经验——暴露学生‘原初思维——引发学生‘认知冲突——发展学生‘逻辑思维能力”的设计思路和观点。笔者细读之下深感受益匪浅。现笔者结合我校教研组对“三角形的高”开展的研讨活动，就课堂教学中如何使学生把握这一概念的本质属性，从而促成学生对该知识点深刻理解的教学目标进行探索与思考。

一、以“源头知识”的内在联系铺垫

所谓“源头知识”，指的是概念介绍中涉及的基本要素，在小学数学“图形与几何”方面的概念表述中通常指点、线、面及其数量、状态、特征等。教材对“三角形的高”这一概念采用发生式的定义方式，其中“一个顶点”“它的对边”“垂线”“顶点和垂足之间”“线段”等组成部分都可以称为“源头知识”。这些知识点中，有相当一部分属于学生已有的知识基础，在本课前面部分三角形的特征教学中对“顶点”也有了较为直观的认识。但在教学实践中，对于“对边”这个含有状态描述的知识点却很容易被教师所忽视，这在后续教学中经常会造成学生对直角、钝角这两类三角形的高存在理解上的困扰。在实施以下教学环节之前，应先将三角形按角分类的知识进行简单介绍和认识，并让学生利用学具分别搭出锐角、直角和钝角三角形。这样对学生更好地理解三角形的高具有一定的促进作用。

[片断1]三角形的字母表示

师：为了方便表达，我们用字母表示顶点，如A、B、C（板书如图1），那么这个三角形就读作三角形ABC。这里你能找出顶点A所对的边吗？

课件演示：顶点A所对的边为BC边，也可以把BC称为A的对边（板书如图1）。其余两个顶点呢？谁来说一说？（课件分不同颜色进行表示，以突出对应关系）

师：一个三角形中有几组顶点和对边的关系？（三组）是由谁的个数决定的？（顶点）你能在自己拼成的直角三角形和钝角三角形上找到这三组顶点和对边的关系吗？试一试。

待操作后，指名让学生在教师提供的直角三角形、钝角三角形教具上指出来并进行表述。

【点评】以上环节中，在介绍三角形字母表示的方法后，真正的着力点是使学生建立三角形中“顶点”与“相对的边”之间的关系，并将此种关系与三角形的特征进行有效沟通。以此为基础，引导学生自主探索直角三角形、钝角三角形中顶点与对边的关系，为后续教学做好铺垫。

二、以“相关知识”的呈现沟通迁移

单从数学知识的角度来讲，与三角形的高相关的知识基础主要是“点到直线的距离”和“平行四边形、梯形的高”。但是，从学生已有的生活经验角度分析，每个学生对于“高”这一基础概念的理解程度是各不相同的，但也体现出一定的共性，即他们的认知水平集中于对实际物体“高度”的直观感知上。针对这样的情况，如何沟通生活中的高与数学中的高之间的联系，并以此为基础完成由已学的“平行四边形或梯形的高”向“三角形的高”进行迁移呢？笔者在实际教学中进行了以下尝试。

[片断2]游戏探究三角形的高

师：同学们学得真不错！接下来，我们做个游戏——“图形平移过桥洞”。

（1）利用长方形教具演示

师：如图2所示，图形能通过吗？（不能）为什么不能？（太高了）高在哪里？請同学们用三角板比出长方形的高。

师：有什么办法让这个图形平移通过呢？演示压扁成平行四边形之后通过桥洞（如图3）。

师：为什么这样就能通过了呢？

生：形状变了。其实是什么变了？（高）（指向变化后平行四边形的一条边）是这条吗？（不是）在哪里？用三角尺在教具上比出来。（操作还原成长方形）这个时候的高在哪里？（学生指出）其实就是这个长方形的什么？（宽）那你觉得对于图形的高有什么要求？（必须垂直）

（2）出示锐角三角形教具演示

师：（请出第二个图形，演示，如图4）能通过吗？（不能）什么原因？（太高了）高在哪里？你能用三角板演示一下吗？（如图5）

师示范（如图6）：这样表示是这个三角形的高吗？为什么？（不是，没有经过最高的顶点）继续演示（如图7），这样表示呢？（不是，高应该是垂直距离）你能用自己的话来说一说什么是三角形的高吗？

（3）根据学生回答，逐步引导得出（板书）：

高所在的对边叫作底（板书），也就是说，底是由谁决定的？（高）

用这样的方法，能用三角尺表示出你拼成的锐角三角形的高吗？你能在图上画出这条高吗？（学生练习）

在这个三角形中，还能找到几组这样的关系呢？你能根据这种关系（指向板书）分别画出其余的高吗？（学生练习）

展示学生作业后提问：有几条高？（3条）能找到几组底和高相对应的关系呢？（3组）

【点评】“图形平移过桥洞”这一实际操作活动的设计展示，主要包含两方面的教学意图。一是沟通生活中的高与数学概念的高之间的联系；二是沟通已学的平行四边形的高与三角形的高之间的联系。其中涉及长方形的高就是它的宽，除了强调高必须垂直的特征以外，也对后续学习直角三角形的高埋下了伏笔。具体到三角形高的概念，以使学生经历感知和探索为基础，大大简化了教材中发生式的描述语言，从中抽取出“顶点到对边之间的距离”这一核心知识。需要着重说明的是，本文标题中提及的“淡化概念”主要是指“淡化”概念的描述语言，事实上，教材采用这样的定义方式也暗含着使学生经历过程，从而加深学生对本质属性的理解的意图。在“三角形的高”这一个概念的教学中贯穿“直观感知——实践操作——概括抽象”的总体思路。此外，由前一个教学片断中落实的“3组顶点和对边之间的关系”这个知识点，自然引出在三角形中有3条高和3组高与底相对应的关系这些后续知识。

三、以“本位知识”的动态发展建构

这里所指的“本位知识”即为三角形的高概念本身，只是体现在直角三角形、钝角三角形中呈现的形式发生了一定的变化。这种变化通常被认为是造成学生理解困难的根源。那么，在实际教学中，如何破除学生不良思维定式的影响，从对本质属性的理解出发，实现对“三角形的高”概念的完整建构，是本课设计与实施中突破教学难点的关键。

[片断3]探索直角、钝角三角形的高

利用教具直观演示。移动其中的一边成锐角三角形（图8），现在经过顶点A的高在哪里？（请学生利用三角板表示出来）继续演示，高在哪里？第三次演示：现在是一个什么三角形？（直角三角形）我把直角三角形请过来（图9），现在经过顶点A的高在哪里？（请一位学生上来用三角尺演示一下）

只要怎么样就是高？（顶点到对边之间的距离，在直角三角形中，这条边就是垂直线段，所以它是高）那么这个时候底在哪里？（板书：高 底）你能在自己的直角三角形上找到这条高以及与它对应的底吗？在画的图上表示一下。我把这个直角三角形转一下，从这个顶点出发，你能找到它的高吗？这个时候底在哪里？也就是说在直角三角形中，这两条互相垂直的边可以互为高和底吗？

继续转变（如图10），现在成了什么三角形？（钝角三角形）还是从顶点A出发，它的高在哪里？（顶点到对边的距离）可以怎么表示？对边不够长怎么办？（教师示范在延长线上画高）你能在自己的钝角三角形上找到这条高，并在作业纸上画出这条高吗？（学生练习并反馈）

课件动态展示（效果图略），让学生发现并归纳：过一个顶点画高时与三角形的另两条边无关。在此基础上进一步使学生明確：画三角形的高其实是过一点画已知直线的垂线。

【点评】该环节以教具直观演示为主，先将锐角三角形转变为直角三角形，在强化概念的基础上引导得出：直角三角形中互相垂直的两条直角边互为高、底。再转变为钝角三角形，在前期不断铺垫，强化对“高”这一概念深入理解的基础上，绝大部分学生都能自主完成知识的迁移。紧接着，教师在图上示范画法，再引导学生在自己的学具上找一找、画一画。最后，辅以课件动态演示，旨在消除学生对画高时由其他两条边造成的错误干扰，并揭示三角形的高就是“点到直线的距离”这一核心概念，与已有知识体系建立了恰到好处的关联。

综上可知，教师对“三角形的高”概念进行教学时，应始终把握概念的本质属性，并合理利用知识的内在联系、前后关系和发展特性恰当选取教学素材，充分利用教具、学具，使学生完整经历“感知——操作——抽象”的认知发展过程，从而达成深刻理解概念的目标。

（责编 黄春香）