基于 Nektar++ 谱/hp有限元法的定常对流扩散方程数值模拟

耿红鹏++张建铭

摘要： 本文利用 Nektar++ 中的 ADRSolver 求解器求解了二维定常对流扩散方程，并进行了 L2 范数误差和 L∞范数误差分析，给出了结构网格下 h 收敛和 p 收敛性质的图像。结果表明：该求解器适用于分析此类问题，数值模拟结果与解析解符合程度高，并且随着阶数p 的增大，两种范数误差均成指数级减小。

Abstract： In this paper， 2-D steady convection-diffusion equations is considered using ADRSolver in Nektar++， and the L2 and L∞ norm errors are analyzed， then both of the h-convergence and p-convergence characteristics of the method for this problem are studied， the results show that the ADRSolver in Nektar++ is suitable for this kind of equations， and we get a correct solution to both of the above equations， moreover， with the increase of order p， the two kinds of norm errors decrease exponentially.

关键词： 对流扩散方程；数值模拟；Nektar++

Key words： convection-diffusion equation；numerical simulation；Nektar++

中图分类号：O241.82 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）08-0218-03

0 引言

偏微分方程中的对流扩散方程（convection-diffusion equation）广泛存在于计算流体力学（CFD）中，可用于描述多种复杂物理过程如流体介质中污染物浓度的扩散、温度扩散等过程，在數值分析上占有重要地位，研究对流扩散方程的精确高效的数值求解方案长期以来是计算流体力学领域的一个重点，如文献[1-2]利用差分格式求解了对流扩散方程，文献[3]利用谱嵌入方法求解了对流扩散方程。

谱/hp有限单元法既有经典有限元法的几何灵活性又具有谱方法的精度。这种方法可以应用于计算流体力学中，已经取得了很多成果，并且还在不断发展中。Nektar++[4]是由英国帝国理工学院和美国犹他大学联合开发的一款基于张量积的开源有限元分析架构，可支持跨平台运行，最新版本的Nektar++ 4.3.5不但集成了多种求解器（如对流扩散方程求解器、心脏电生理求解器、线弹性求解器、脉冲波求解器、浅水求解器等）而且还可以支持构造新求解器，可拓展性良好。这些求解器利用了高阶谱元法作为其数学思想，为相关的科学及工程计算提供了新的选择和方法。Nektar++中的ADRSolver可用以求解对流扩散方程。将Nektar++应用于二维定常对流扩散方程数值模拟，对不同步长h和不同阶数p下的网格的计算结果进行分析，得出了相应的结论，证明了Nektar++中的ADRSolver求解器对算例中的问题是有效的。

1 数值离散

考虑定常对流扩散方程

p 收敛下L2的范数误差和L∞范数误差见图1和图2；h 收敛下的L2范数误差和L∞范数误差见图3和图4。

4 结论

图1-图2显示了 p 收敛的结果，随着阶数 p 的增大，L2范数误差和L∞范数误差成指数级减小；类似地，图3-图4显示了 h 收敛的结果，在阶数p保持不变时，随着网格的加密（h 减小），L2范数误差和L∞范数误差对数曲线图越来越陡，反映了在一定的范围内，网格划分越疏， p 收敛越慢；网格划分越密， p 收敛越快，即通过加密网格，此类问题的求解精度可以得到非线性地提高。

参考文献：

[1]张铁，王宝艳.解对流占优反应扩散问题一致稳定的差分格式[J].高校应用数学学报，2010，25（2）：195-201.

[2]魏剑英.二维定常对流扩散方程的一种高精度紧致差分方法[J].重庆理工大学学报自然科学版，2012，26（2）：112-117.

[3]Elghaoui， M. and Pasquetti， R. A Spectral Embedding Method Applied to the Advection-Diffusion Equation[J].Journal of Computational Physics， 1996， 125（2）：464-476.

[4]Cantwell， C. D. and Moxey， D. and Comerford， A. and Bolis， A. and Rocco， G. and Mengaldo， G. and De Grazia， D. and Yakovlev， S. and Lombard， J. E. and Ekelschot， D. Nektar++： An open-source spectral/hp element framework[J].Computer Physics Communications， 2015， 192：205-219.