探究高考数学中的割补法

童其林

《考试说明》指出，一般认为，中学数学涉及的数学思想方法主要有：函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、必然与或然的思想等.数学的基本方法主要有：待定系数法、换元法、配方法、割补法等.数学逻辑方法或思维方法主要有：分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等.它们是理解、思考、分析与解决数学问题的普遍方法，对数学思想与方法的考查要结合数学知识多层次进行.其中的割补法在2016年的高考中就有所体现，我们先来看看2016年全国Ⅰ卷11题：

點评本题考查了平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角. 求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补.

点评此题知识点涉及平面基本性质、平行公理、面面平行的判定定理、直线所成的角、正方体的性质等.能力点考查到位，空间想象，化归转化，计算求解能力体现得淋漓尽致.另外，此题与2015年新课标Ⅱ卷立体几何解答题19题可谓同源，作图是求解的关键.该题是一道好题.

这是最近两年全国卷运用割补法解决问题的具体例子，其实，割补法在各地的高考中也有体现.那什么是割补法？如何运用割补法解决问题呢？下面我们再作一番探讨，希望对复习备考有帮助.

1割补法的含义

立体几何是高中数学的重要组成部分，是培养学生空间想象力和逻辑推理能力的必不可少的内容，也是高考的重点之一.立体几何中需要将几何体进行分割或添补，以便得到解决问题的方法，分别叫做分割法和补形法，统称为割补法.割与补的方法是数学中常用的一种独特方法，通过对几何体的割、补，能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，这种方法蕴含了化归思想.使生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗.

解决一个问题，是割是补？这要看问题的性质，宜补就补，宜割就割，不可割补就不割补，就是宜割补，也要讲究如何割补，不要盲目行动，否则就会导致麻烦，使问题复杂化，适得其反，甚至问题还不能解决.

图32割补法的常见问题

2.1分割法

解析求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O为A1C1的中点，故将要求的距离与A1到面AC1D1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥A1—AC1D1而进行解题.

连AC1，可得到三棱锥A1—AC1D1，我们把这个正方体的其它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半.这个三棱锥底面为直角边为1与2的直角三角形.这个三棱锥又可视为三棱锥C1—AA1D1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为

解析在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而繁琐，而又考虑到面A1ADD1截得的球的截面为圆，且EF在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来.

如图5，依题O亦为此正方体的中心，补侧面AD1为平面AD1，球O截平面A D1可得圆锥0—AD1，其底面圆心正为线段AD1的中点，亦为线段EF的中点，割去正方体和球的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O截直线EF所得线段长就等于这个圆锥底面圆的直径AD1之长，故选D.

解析显然，该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故可采用分割的方法.将已知图形割为一个直棱柱与两个全等的三棱锥，先分别求体积，然后求要求的几何体体积.

立体几何解题中，很多时候需将三棱柱补成平行六面体，将三棱锥补成三棱柱，将三棱柱割分为三棱锥等等，其实，割补法不仅仅使用于立体几何，将上述概念中的几何体或图形改为代数式，那么在数学的其它方面使用割补法也就很多了，比如运算中的添项减项，重新组合另行考虑，考虑问题的对立面等等均可视为割补法，因此，割补法不只是一种方法，可把它上升为一种思想——一种数学思想.总之，割补法是解答有关立体几何问题的有效方法，是会算，会少算，也要会不算的重要途径.