蒙特卡洛方法在积分求解中的应用

卢嘉澍

【摘要】 本文基于蒙特卡洛方法的定义，给出使用其进行近似积分的一般步骤，并以均匀分布为例讲解了具体操作步骤.积分算例表明，这种方法概念简单、编程容易，可应用于工程实际问题中重要的数值积分计算.

【关键词】 积分计算；蒙特卡洛法；区间估计

一、引 言

蒙特卡洛法，也称统计模拟方法，是一种计算机化的数学方法.20世纪40年代中叶出现了电子计算机，使得用数学方法模拟大量试验成为可能.另外，随着科学技术不断发展，出现了越来越多的复杂问题，用通常的解析方法或数值方法都难解决.蒙特卡洛法（包括求积分、微分以及线性、非线性方程组等）就是在這些情况下，作为一种可行的，且是不可缺少的计算方法被提出和迅速发展起来的.以概率论为理论基础，其可靠性与收敛性也能得到很好地说明.在通常积分的求解中，常用数值积分公式对积分进行求解.然而数值求积公式的精度将受到积分维数的影响，同时，对于无穷积分，将其近似地看作定积分本身也会丧失一定的精度.

二、算法思想

对于积分若能选取连续型随机变量X，其概率密度函数p（x）满足如下条件：

1.p（x）>0，x∈ R n.

2.p（x）及其上侧分位数已知.

则便可对上述积分作统计模拟并进行误差估计.特别地，若取概率分布为D上的均匀分布，则其概率密度

g（x）= 1 m（D） .

其中m（D）为积分区域D的测度.则原积分可转化为

即相当于求随机变量X在函数

下的数学期望，这就将积分问题转化为期望估计问题，至此便可运用数理统计相关理论，如点估计、区间估计对其进行求解.

三、公式推导

考虑一般情形，对于所求期望E（h（x）），我们运用数理统计的相关理论对其进行区间估计.首先，假设

为一束均匀分布族，把上式代入积分表达式，可得

根据此式，可以得到n重积分的估计式

根据上式即可使用基于均匀分布的样本对所求积分进行数值估计.

四、实 例

（1）考虑一维情形.根据随机分布g（x）随机选取样本（x1，x2，…，xn），

则可以给出积分

的估计式

同时，也可以给出基于区间估计的误差，置信度为1-α的误差为

其中Kα为同置信度有关的常数，并满足|Kα|<1.故误差满足

我们可以得到，积分值的估计量θ ^ →∫baf（x）dx，误差的大小不随维数而显著改变，故这种估计方法是合理的.若取f（x）=ex，考虑其在[0，1]上的积分.选取n=10 000，生成10 000个[0，1]内的随机数，再根据上式进行求解.使用MATLAB编程求解其在[0，1]内积分的近似值，运行代码如下：

f=@（x）exp（x）；xx=rand（1，10000）；S=sum（f（xx））/

10000

输出结果

S=1.718220782967407

对于任意区间[a，b]的均匀分布随机数，总可以通过[0，1]内随机数进行线性映射得到

r′k=（b-a）rk+a.

综上所述，使用蒙特卡罗法进行积分计算的一般步骤为：

（1）根据概率密度函数，确定一组基于密度函数的容量为n的样本（x1，x2，…，xn）.

（2）根据每层积分上下限的表达式，确定每一层相应积分样本的上下限.特别的，若积分为矩形区域上的积分，则样本上下限即为相应层积分区间的上下限[ai，bi].

（3）使用公式

对原积分进行数值估计.

五、结 语

使用蒙特卡洛方法进行积分计算，理论上可以通过选取合适的随机分布来提高蒙特卡洛方法的精度.

由于蒙特卡洛方法思想简单，易于编程实现，且一般的程序语言如C++，MATLAB，Mathematica都有生成各类常用分布随机数的命令，更加方便了程序设计.并且，其精度不会随着积分维数增大而显著增长，对于计算一些复杂的高维积分有明显的优势.因此，可以推断，蒙特卡洛方法将作为一种数值积分工具而得到广泛应用.