函数凹凸性定义的进一步研究

孟丽君

【摘要】 凹凸函数是一种非常重要的函数，它在最优化理论、泛函分析、不等式证明等方面有重要应用.本文主要以凸函数为主，通过介绍不同凸函数的定义，给出了凸函数定义之间的关系，加深了对凸函数定义的理解，并给出了凸函数的定义在证明不等式中的应用.

【关键词】 函数凹凸性；等价；不等式

一、函数凹凸性的定义

在不同数学教材或论文中，函数凹凸性的定义也不完全相同，本文总结出几种常用的定义：

定义1 设函数f（x）在区间I上有定义，若x1，x2∈I，λ∈（0，1），有

f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）， （1）

则称f（x）在区间I上是凸函数.

定义2 设函数f（x）在区间I上有定义，若x1，x2∈I，有

f x1+x2 2 ≤ f（x1）+f（x2） 2 ， （2）

则称f（x）在区间I上是凸函数.

定义3 设函数f（x）在区间I上有定义，若x1，x2，…，xn∈I，有

f x1+x2+…xn n ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ， （3）

则称f（x）在区間I上是凸函数.

定义4 设函数f（x）在区间I上有定义，若y=f（x）在区间I上任意点的切线在曲线以下，则称f（x）在区间I上是凸函数.

二、凸函数定义之间关系

上述定义都是凸函数的定义，但并不能说定义1，2，3，4彼此之间完全等价，本文依次梳理上述定义的关系.

定理1 定义1定义2.

证明 令λ= 1 2 ，由（1）式很容易得出f x1+x2 2 ≤ f（x1）+f（x2） 2 ，即定义1定义2，反之则不成立.

定理2 定义2定义3.

证明 定义3定义2，令（3）式中n=2定义2.重点应该放在证明定义2定义3.

（Ⅰ）由（2）式可知（3）式当n=2时成立.从而x1，x2，x3，x4∈I，有

f x1+x2+x3+x4 4 =f x1+x2 2 + x3+x4 2 2 ≤

f x1+x2 2 +f x3+x4 2 2

≤ f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4） 4 .

即定义3中（3）式当n=4时成立.以此类推，重复上面步骤，可知（3）式当n=2k时皆成立.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（3）式对一切n取偶数时成立，现在证明重点由n取偶数时成立推出n取奇数时成立.即只要说明（3）式对n=k+1时成立，也对n=k时成立.

令A= x1+x2+…+xk k ，则kA=x1+x2+…+xk，

进而（k+1）A=x1+x2+…+xk+AA= x1+x2+…+xk+A k+1 ，

故有f（A）=f x1+x2+…+xk+A k+1

≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xk）+f（A） k+1 .

上式两边同乘k+1，减去f（A），可得

f x1+x2+…+xk k ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xk） k ，

上式说明（3）式对n=k时成立.

定理3 若f（x）连续，则定义1，定义2和定义3等价.

证明 重点应该放在证明定义2，定义3定义1.

（Ⅰ）设x1，x2∈I，为证明（1）式对λ∈（0，1）成立.我们先证明λ= m n ∈（0，1）为有理数时成立，其中为m，n为自然数，而且m

f（λx1+（1-λ）x2）

=f m n x1+ 1- m n x2

=f mx1+（n-m）x2 n

=f x1+x1+…+x1 m +x2+x2+…+x2 n-m n

≤ f（x1）+…+f（x1） m +f（x2）+…+f（x2） n-m n

= mf（x1）+（n-m）f（x2） n = m n f（x1）+ 1- m n f（x2）

=λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

从而λ为有理数情况下说明定义2，定义3定义1.

（Ⅱ）对λ∈（0，1）的无理数，则存在有理数λn∈（0，1）（n=1，2，…），使得λn→λ（当n→∞时）.从而有f（λx1+（1-λ）x2）=f[lim n→∞ （λnx1+（1-λn）x2）].

由于f（x）连续，上式为

f（λx1+（1-λ）x2）=f[lim n→∞ （λnx1+（1-λn）x2）]=lim n→∞ f（λnx1+（1-λn）x2）.

由（Ⅰ）可知对于任意有理数λn，有f（λnx1+（1-λn）x2）≤λnf（x1）+（1-λn）f（x2）.

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上式两端取极限，得出

lim n→∞ f（λnx1+（1-λn）x2）≤lim n→∞ [λnf（x1）+（1-λn）f（x2）]=λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

从而得出f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）.

从而说明λ为无理数情况下定义2，定义3定义1.

定义1适用范围更广，包含了定义2、3，当函数连续时，定义2、3才等价于定义1，但因为不含参数λ∈（0，1），从而使用起来要比定义1简单.

定义1与定义4的关系，需要先证明一下引理才可以说明.

引理 设函数f（x）在区间I上有定义，且f（x）在区间I上是凸函数，当且仅当x1，x2，x3∈I，且x1

证明 （Ⅰ）必要性.

由于f（x）在区间I上是凸函数，按照定义1可得x1，x3∈I，λ∈（0，1），有

f（λx1+（1-λ）x3）≤λf（x1）+（1-λ）f（x3）. （*）

取λ= x3-x2 x3-x1 并代入不等式得出

f（x2）≤ x3-x2 x3-x1 f（x1）+ x2-x1 x3-x1 f（x3）. （**）

同减f（x1），同除以x2-x1，

易得出 f（x2）-f（x1） x2-x1 ≤ f（x3）-f（x1） x3-x1 ，

同理可证 f（x3）-f（x1） x3-x1 ≤ f（x3）-f（x2） x3-x2 .

（Ⅱ）充分性.

λ∈（0，1），若令x2=λx1+（1-λ）x3，则取λ= x3-x2 x3-x1 ，从而可由（**）推得（*），故f（x）在区间I上是凸函数.

定理4 若f（x）在区间I内可导，则定义1、定义2、定义3和定义4等价；此命题可以改写为若f（x）在区间I内可导，则f（x）在区间I上是凸函数，充要条件是：x0∈Io（I全体内点组成的集合），有f（x）≥f′（x0）（x-x0）+f（x0）（x∈I）.

证明 略.

三、凸函数在证明不等式方面的应用

例 （Jensen不等式）若f（x）在区间I上是凸函数，则对xi∈I，λi>0（i=1，2，…，n），∑ n i=1 λi=1，有

f（∑ n i=1 λixi）≤∑ n i=1 λif（xi）. （5）

证明 （Ⅰ）当n=2，由定义1可得（5）式成立；

（Ⅱ）假设当n=k时（5）式成立.即xi∈I，αi>0（i=1，2，…，k），∑ k i=1 αi=1，有f（α1x1+α2x2+…+αkxk）≤α1f（x1）+α2f（x2）+…+αkf（xk），

则x1，x2，…，xk，xk+1∈I，λi>0（i=1，2，…，k+1），∑ k+1 i=1 λi=1，有：

从而对于任何正整数n≥2，f（x）是凸函数，总有（5）式成立.