新课标理念下的数学观及思考

高祥秀

【摘要】 新课标的制定与出台，是一定的数学观指导下的结果，反过来，又体现了一定的数学理念.新课标正努力向人们展现数学的全部真实面貌：（1）数学并非不变的概念、法则和定理的简单汇集，而是人类的一种创造性活动；（2）数学问题是丰富多彩的，不仅数学内部有，现实生活中也存在着许多与数学相关的问题；（3）数学问题解决的方法是多样的；（4）估算也是数学.新课程理念下的数学观促进了数学教育工作者对一些问题的思考：（1）数学课程改革需要数学观强有力的指导；（2）教师要形成正确的数学观.

【关键词】 新课标；数学观；教师

数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学.一般来说，数学观就是指人们对数学的总的看法和基本观点，是关于“什么是数学”问题的认识.由此可见，数学观是对数学进行有关哲学方面的思考.每个学习过数学或与数学接触过的人都有可能对数学产生看法，形成见解，由于个体具有不同的数学学习背景，接受不同的价值观念，再加上自身的实践经验，因而在数学学习过程中逐渐形成自己对数学独特的看法，经过进一步的整理、描述，即为数学观.

一、新课标理念下的数学观

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新课标）对数学本质采用了描述性定义，指出“数学是研究数量关系和空间形式的科学”“数学与人类发展和社会进步息息相关”“数学是人类文化的重要组成部分”，[1]这种数学本质观，一方面是对传统数学观的超越，另一方面，这些观点又反映出新课标下的数学观.具体如下：

（一）数学是人类的一种创造性活动

弗雷登塔尔早就指出，数学教学的核心是学生的“再创造”.新课标也强调参与综合实践活动、积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验.也就是说，数学学习活动必须以“再创造”的方式进行，让学生根据自己的活动经验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识，使学生深刻体会到数学并非不变的概念、法则和定理的简单汇集，而是人类的一种创造性活动.

例如，“零指数”的教学设计.本实例希望体现课程目标在课堂教学中的整体落实——通过本节课的学习，学生不仅理解和掌握有关的知识和技能，而且初步了解指数概念是如何扩充的，感受零指数“规定”的合理性.

通过计算23÷23提出问题：如果应用同底数幂的运算性质，可以得到23÷23=23-3=20.那么20有什么意义呢？我们需要对此做出解释，数学面临了挑战.首先，我们回顾简单的事实：23÷23=8÷8=1，于是可以自然提出猜想：20=1，然后，采用各种途径引导学生感受规定20=1的合理性.例如，用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么，一个细胞没有分裂时呢？这样，在学生感受“20=1”的合理性的基础上，做出零指数幂意义的“规定”，即a0=1（a≠0）.在规定的基础上，再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是无矛盾的，原有的幂的运算性质可以扩展到零指数[1].

综上，学生在学习“零指数”时将经历如下的过程：面对挑战进行思考—提出“规定”的猜想—通过各种途径说明“规定”的合理性—做出“规定”—验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾—指数概念和性质得到进一步扩展.

这样的过程充分体现了数学自身发展的轨迹，学生借助学习“零指数”所得经验，可以进一步尝试对负整数指数幂的意义做出合理的“规定”，体现了数学是人类的一种创造性活动，有助于发展学生的理性思维.

（二）数学问题是丰富多彩的

数学问题是丰富多彩的，不仅数学内部有，现实生活中也存在着许多与数学相关的问题.然而，大多数学生并未认识到数学问题的丰富性，因此，有必要帮助学生认识现实生活中的数学问题，并形成解决这些问题的意识和能力.

例如，结合实例解释3a.希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的.a可以表示数量，如，葡萄的价格是3元/千克，则3a表示买a千克的金额；a也可以表示长度，如一个等边三角形的边长为a，则3a表示这个三角形的周长；等等.

数学知识的学习，应该力求从实际出发，以学生熟悉或感兴趣的问题情境引入，并进行探究学习.下面的题目体现了这一点.

李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元.请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？[1]

这类问题在生活中很常见.从数学上看，第一问要判断100元是否超过三种物品的价格总和，适当放大；第二问要判断三种物品的价格总和是否超过100元，适当缩小.

数学问题不仅包含在数学内部，也体现在现实生活中，上述第一个例子是从数学问题到生活情境，第二個例子是从生活情境转向解决数学问题.生活中充满数学，数学与生活是息息相关的，数学问题也是丰富多彩的.

（三）数学问题的解决方法是多样的

心理学研究表明，每名学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，导致不同的学生有不同的思维方式和解决问题的策略.学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程[2].新课标中对于数学学习内容的呈现，注意采用不同的表达方式，体现解法、证法的多样化，以满足学生多样化的学习需求.

例如，4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，椅子腿数和凳子腿数共60条，问几个椅子几个凳子[1]？事实上，这个问题可以用三种方法建立模型：四则运算、一元一次方程、二元一次方程组.启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对数学模型的理解.

利用四则运算时，引导学生运用尝试的办法探索规律，椅子数为16、凳子数为0，腿的总数为64；椅子数为15、凳子数为1，腿的总数为63；椅子数为14、凳子数为2，腿的总数为62……继续计算下去，可以得到椅子数为12、凳子数为4时，腿数恰好为60.利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样有利于学生理解方程的意义、体会建模的过程.假设椅子数为a，则凳子数为（16-a），列一元一次方程4a+3（16-a）=60，可以解方程求出椅子数a，再用（16-a）求出凳子数.利用二元一次方程组可以直接列方程组.假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60，代入法求解.

从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较烦琐.采用不同的解决方法，体现数学求解的多样化，以满足不同学生的学习需求.数学问题的解决方法是多样的，在数学学习的过程中不应局限于一种解题方法，应拓宽思路，发散学生思维.

（四）估算也是数学

估算在日常生活中有着广泛的应用，它是发展学生数感的有效途径.新课标明确指出：“在数学课程中，应当注意发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想[1].”数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择恰当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释[2].建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系.

例如，“公园有多宽”？某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2.（1）公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？（2）如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？与同伴交流.（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗？（误差小于1 m）[3]

“公园有多宽”这一问题，让学生用有理数估计一个无理数的范围，或比较无理数的大小，或检验计算结果的合理性.通过估算，使学生感受和理解数的意义，同时，感受到并不是精确的计算才是数学，估算也是数学.

二、几点思考

数学观是人们从哲学层面对数学进行的概括认识.新课标中蕴含多種数学观，对新课标中数学观的不同解读也影响着课程的设计及教师的数学观，进而影响着数学课程教学的实施.这里要明确：数学观没有好坏之分，只有合理与否.

（一）数学课程改革需要数学观强有力的指导

从数学发展的历史进程来看，数学最初被看作不变的、绝对真理的集合.再者，逻辑主义、直觉主义、形式主义等不同基础主义流派着眼于数学成果本身，把数学看成是从某个静止的基础演绎而来的，导致“新数运动”的失败.随着数学学科的发展进步以及人们认识的逐步深入，数学更多地被看作是人类的创造性活动，建构主义数学观流行开来.建构主义数学观强调，数学是在活动中根据主体需要建构起来的，是拟经验的、可误的.

我国新一轮课程改革强调促进学生全面、持续、和谐地发展，为实现这一目标需要数学观强有力的指导，数学课程改革要求必须更新数学观，为改革奠定坚实的思想基础，保证改革稳定地向前发展.

（二）教师要形成正确的数学观

英国学者P.Ernest认为，教师所具有的数学观大致可分为3类：（1）动态的、易谬的数学观[4].这是指把数学看成人类的一种创造性活动.从而，数学主要地就是一种探索的活动，并一定包含有错误、尝试与改进的过程，更必然地处于不断的发展和变化之中.（2）静态的、绝对主义的数学观.这是指把数学看成无可怀疑的真理的集合，是一个高度统一且十分严密的逻辑体系.（3）工具主义的数学观.这是指把数学看成适用于各种不同场合的事实性结论、方法和技巧的汇集，数学不能被看成一个高度统一的整体[5].

新课标指出有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、引导者与合作者.教师在学生学习过程中应适当地加以引导，注重启发和因材施教，激发学生的学习主动性和自觉性，实现交往互动，共同发展.因此，必须加强教师教育，尤其是数学观念的教育，为此，可以开设数学哲学、数学教育哲学、数学史、数学思想发展史、数学方法论等有关学科，以帮助教师形成正确的数学观.

【参考文献】

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学，2011：127-128.

[2]顾继玲.新教材中数学观之分析及思考[J].数学教育学报，2003，5（12）：99-102.

[3]义务教育课程标准实验教科书·数学（八年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2002：16-17.

[4]Ernest P.On Teachers Mathematics Education[M].Hamsphire：The Falmer Prsss，1991.

[5]郑毓信.“（数学）教室文化”：数学教育的微观文化研究[J].数学教育学报，2000（01）：11-15.