高考聚焦

梁修曦

【摘要】 数列不等式是近些年来高考中的必考考点之一，由于不等式证明与数列联系紧密，将其结合构成的数列不等式，既具备数列的结构、性质特征，也具备了不等式证明的多种证明思维.要想掌握数列不等式的解题方法，需要锻炼出敏捷的观察力并熟练掌握各种解题思路.本文中，笔者简单介绍了几种常见数列不等式的证明方法.

【关键词】 数列不等式；放缩法；归纳法；直接证明法

一、引 言

在教学过程中不难发现，许多学生在解决数列不等式问题时不能得心应手，那是因为没有找到解题的突破口，未培养良好的洞察力.一般来说，数列不等式主要分为两大类：① 证明不等式或比较大小；② 恒成立问题.筆者在下文中通过例题介绍了几类常见数列不等式的证明方法.

二、放缩法

证明数列不等式成立时，放缩法是从不等式的一边入手，通过不等式本身的性质，添加或舍去一些正数项或负数项，扩大或缩小分式中分子或分母，调整到与目标项相似，从而实现解题的一种方法.在创建改造不等式过程中，放缩法是对学生思维创造性的一种提升和挑战.放缩法结合了很多知识点，对学习基础的要求较高.

.

总结 放缩法证明十分灵活，既需要分析已知条件，也要分析结论.放缩法包括两种形式：先放缩再求和及先求和再放缩，这需要先判断数列求和的难易程度，再去选择放缩的形式.

三、归纳法

数学归纳法简称归纳法，此方法可规避传统的不等式放缩方法证明数列不等式，思路明确，有一定的规律，适用性很广，可以解决很多复杂的数列不等式证明题.

例2 设数列{an}首项为a1=3，且an+1=an+（n+2）·2n，n∈ N *，求证：an≥2n2+2n+1.

证明 由已知条件，可得a2=9，a3=25，a4=65，

① n=4时，不等式左边a3=65，右侧=41，左边>右边，不等式成立.

假设n=k时不等式依旧成立，有ak≥2k2+2k+1.

② 当n=k+1时，

n=k+1时原不等式依旧成立.

综上所述，可得原不等式成立.

总结 数学归纳法解题过程是固定的，甚至连证明过程中的计算也都变得机械化，其固定的步骤是缺一不可的.数学归纳法中，用来证明当n属于自然数时某数列不等式在其范围内成立的类似命题，更容易被学生接受并熟练运用，此方法在高中数学教学中是非常重要的一部分，也是高考中不可或缺的一种解题方法.

四、直接证明法

例3 设b>0，数列{an}满足a1=b，an= nban-1 an-1+2n-2 （n≥2）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，an≤ bn+1 2n+1 +1均成立.

综合①②，可得原不等式成立.

总结 思路不清晰时，可利用分析法进行证明，必要时可以进行逆向分析.

五、结 语

实际上，数列不等式类型很多，但都是建立在以上几类基本解题方法之上的，近三年高考数学中，数列不等式所占分值比例有所提高，相信它还会随着高考新题型的出现演绎得更加精彩.

【参考文献】

[1]章政权.例说数列不等式的证明[J].中学数学教学，2014（4）：45-48.