数学与体育馆的结合

尤建琴

【摘要】 本文在陶行知老先生的名言“教育中要防止两种不同的倾向：一种是将教与学的界限完全泯除，否定了教师主导作用的错误倾向；另一种是只管教，不问学生兴趣，不注重学生所提出问题的错误倾向.前一种倾向必然是无计划，随着生活打滚；后一种倾向必然把学生灌输成烧鸭”的启发下，联系体育馆中的一系列问题，引导学生用反比例函数的知识给予解决.

【关键词】 反比例函数；实际问题；函数关系

随着社会的发展，数学的应用已经渗透到生活的各个领域，函数是数学的核心和主线，它的内涵恰好能体现不断变化的事物的本质及事物间的内在联系.而反比例函数经常作为主角出现在函数的应用中，如通讯话费、计程车计费、银行利率、邮资、个人所得税等，所以，很有必要在这些方面开展研究性学习.这样既能使学生体悟数学的应用价值，又能激发其学习数学的兴趣，还能形成学数学、用数学的思维和意识.下面笔者以与学生息息相关的体育馆中的一系列问题，用反比例函数给予解决，探讨反比例函数的应用.

问题1 莲花学校要筹建新的体育馆，其地基为长方形，占地面积为2 400平方米.（1）体育馆的长与宽之间具有怎样的函数关系？（2）如果体育馆的宽为100米，那么长为多少？（3）由于場地的限制，长最多为60米，那么宽应该满足什么条件？

解析 （1）设长为x，宽为y，由长方形面积=长×宽，可得y= 2400 x ；

（2）将y=100代入y= 2400 x ，可得x=240；

（3）长最多为60米，即x≤60，这个很像是一道解不等式的题目，但学生很难用解不等式解决，这里通常有两种方法：① 根据反比例函数的增减性，因为k>0，x>0，y随x的增大而减小，所以考虑临界值，当x最大为60时，y最小值为400，即y≥400.② 根据反比例函数的图像，因为k>0，x>0，图像在第一象限，从左到右呈下降趋势，根据x的取值范围确定对应的图像，进而得出y的取值范围.

分析 此题是以莲花体育馆的筹建为背景引入的，让学生来当一回设计师，设计体育馆的地基，就像陶行知老先生说的：“教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作.”这题的三小题分别用反比例函数的解析式、取值以及增减性解决.问题（1）的反比例函数关系式是由长方形面积公式直接得出的；对于问题（2）的解答，只要将y=100的数值代入关系式中，就可以求出相对应的x数值；问题（3）是对反比例函数增减性的考查，也可结合图像更直观地感受当长最多为60米时，宽应该满足的条件，这里还用到了临界值，当考虑某一变量的取值范围时，往往会先分析临界值，在下面的题目中我们还将涉及.

问题2 某建筑商出售一批进价为2万元/吨的钢材，在市场营销中发现此钢材的销售单价x万元/吨与销售量y（吨）之间有如下关系：

x（万元/吨） 3 4 5 6

y（吨） 20 15 12 10

（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此钢材的销售利润为w万元，试求出w与x之间的函数关系式；（3）若物价局规定此钢材的销售价最高不能超过10万元/吨，请你求出当销售单价x定为多少万元时，才能获得最大销售利润？

解析 （1）由四组数据积的不变性，可以得出xy=120，y= 120 x ；

（2）根据销售利润=单件利润×销售量，得出w=（x-2）y，但题目要求是w与x之间的函数关系式，这里将把第（1） 小题中的y= 120 x 直接代入，得到一个新函数w=- 240 x + 120；（3）对于函数w=- 240 x +120，已知x≤10时，确定w的取值范围，应把w看成两项，一项为定值120，一项为变值- 240 x ，所以w的取值范围由- 240 x 确定，也有两种方法：① 根据反比例函数的增减性，因为k<0，x>0，y随x的增大而增大，所以考虑临界值，当x最大=10时，w最大=96，即0≤w≤96.② 根据反比例函数的图像，因为k<0，x>0，图像在第四象限，从左到右呈上升趋势，根据x的取值范围确定对应的图像，得出- 240 x 的取值范围，进而得出w的取值范围.

分析 这题是以莲花体育馆建造时，钢材供应商经营策略为背景引入的，它在问题1的基础上有所提高，体现了不同的求解析式的方法.这里的设计主要想体现陶行知老先生的名言：“好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学.”让学生在已有的基础上进一步提升.问题（1）的反比例函数关系式是由售价与销售量乘积的不变性，直接得出的；问题（2）在确定了销售量与销售价之间的反比例函数关系之后，根据总利润=单价利润×销售量或者总利润=销售额-成本的数量关系，列出w与x之间的关系式，这里销售量y要用x来表示；问题（3）根据利润的函数关系式w=- 240 x +120，由x的取值范围来确定w的取值范围，这里应该把w的函数关系式看成由- 240 x 和120两部分组成，而其中的120是不变的，所以w的值主要由- 240 x 来确定，也就是由反比例函数的增减性来确定，其实这一题和问题1的第三小题是考查的同一知识点，但却比问题1要难.

问题3 如图，体育馆建成之后，学校对它进行药熏消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例.现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg.请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y与x的关系式为 ；药物燃烧完后，y与x的关系式为 ；

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过 min后，学生才能回到教室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次药熏是否有效？请说明理由.

解析 （1）由图像可知，它有两部分组成，一条经过原点的线段和一条曲线，可知它对应两个函数：正比例函数和反比例函数，所以当08时，y= 48 x ；（2）含药量即为y的值，相当于已知y=1.6，代入反比例函数y= 48 x 求相应的x；（3）已知y的取值范围y≥3，求出x的取值范围，主要用临界值的方法，把y=3分别代入正比例函数y=0.75x和反比例函数y= 48 x ，求出相应的x，即在图像找出y=3相对应的两个点，再找出y≥3时相对应的图像，把两个x相减，得出的差与10做比较，如果差大于或等于10则有效，如果差小于10则无效.

分析 问题（3）是以对体育馆进行消毒为背景引入的.相对于问题（1）、（2），它多了图像，也就是说主要要结合图像来解决此题.第（1）小题是根据图像用待定系数法求出函数关系式；第（2）小题是常规的已知y代入解析式求x，但此题有两个函数关系式，学生要根据题目要求选择适当的解析式，因为题目要求“学生进入教室”，所以要选择反比例函数；第（3）小题是第（2）小题的延伸，它是已知y的取值范围确定x的取值范围，主要体现了数形结合思想.

就像陶行知老先生说过的：“活的人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生.”

所以，我在前面三个问题的基础上，设计的问题4，它只给出了图像以及简洁的提示，没有给出任何问题，主要由学生自主提出问题并解决问题，以此提升学生的能力以及对知识点认知的升华.

问题4 体育馆建成之后，很多教师去参观，体育教师就热情地邀请他们喝茶.图中是喝茶前，烧水和泡茶两个工序中，水温随着时间的变化所呈现的图像，其中BC=1，CD为反比例函数图像的一部分.根據以上信息，你能设计出哪些与烧水、泡茶有关的问题.

解析 问题4是以烧水泡茶为背景引入的.这个题目抛出后，极大地调动了学生的参与性和积极性，他们结合前面三个问题所用到的知识点，想出了一系列的问题.（1）根据图像求出函数关系式；解答：因为图像分为三段，所以它对应三个函数关系式，但根据图中给出的已知条件，只能先求出CD段的反比例函数y= 900 x （x>9），进而求出点C坐标（9，100），点B（8，100），并确定BC段的函数y=100（8

综合以上问题，我们不难发现求解反比例函数应用题的一般策略，即充分阅读和理解题目的具体内容，找出其中隐含的必要条件，从而确定相应的反比例函数关系式，然后，结合图像利用方程或不等式等方法解决相应问题.