动量定理在电磁感应题解中的应用

李元法

(湖北省当阳市第一高级中学，湖北 当阳 444100)

动量定理在电磁感应题解中的应用

李元法

(湖北省当阳市第一高级中学，湖北 当阳 444100)

2017年普通高考考试大纲修订内容中,物理学科选修3-5列为必考内容,电磁感应现象在高考中出现的几率将会进一步提升,动量定理和电磁感应现象联系将更加紧密,探究动量定理在电磁感应现象中的应用将会显示出更加重要的作用．

动量定理; 电磁感应现象; 应用模型

2014年9月,国务院颁布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》,2016年教育部考试中心修订完善了考试大纲．目前,教育部考试中心对2017年普通高考考试大纲修订内容进行了发布,其中物理学科将选修3-5的内容列为必考．不但使动力学知识更加完善,而且使动量部分和电磁感应现象相结合能进一步培养学生应用所学知识综合分析问题、解决问题的能力．下面探究一下动量定理在电磁感应现象中的应用．

1 动量定理在电磁感应现象中和单杆相结合应用模型

1.1 单杆和电阻结合模型

单杆在磁场中切割磁感线是电磁感应现象中常见的模型,经常会出现做非匀变速运动类问题,当杆做非匀变速运动时不能直接用匀变速运动公式求解．应用动量定理和闭合电路欧姆定律、法拉第电磁感应定律相结合可以非常方便地求出杆运动的距离、速度、动能和瞬时功率．

图1

例1.如图1所示,电阻不计、间距为L的光滑平行金属导轨水平放置,导轨左侧接有阻值为R的电阻,以导轨的左端为原点,沿导轨方向建立x轴,导轨处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中,一根电阻也为R、质量为m的金属杆垂直于导轨放置于x0处,不计金属杆与导轨间的接触电阻,现给金属杆沿x轴正方向的初速度v0,金属杆刚好能运动到2x0处,试求:金属杆运动到1.5x0处时速度大小和安培力的瞬时功率．

解析:金属杆受重力、支持力和水平向左的安培力;设金属杆运动到1.5x0处时间为Δt,取水平向右为正．

由动量定理有

-BLΔt=mv-mv0.

(1)

由闭合电路欧姆定律有

(2)

由法拉第电磁感应定律得

(3)

其中

ΔΦ=BLx02.

(4)

由(1)～(4)式得

-B2L2x04R=mv-mv0.

(5)

同理可得金属杆运动到2x0处时有

B2L2x02R=mv0.

(6)

由(5)、(6)式得

v=v02.

当金属杆运动到1.5x0处时,

E=BLv.

(7)

由闭合电路欧姆定律有

I=E2R.

(8)

金属杆受到的安培力大小为

F=BIL.

(9)

由功率公式有

P=Fv.

(10)

由(7)～(10)式得P=B2L2v028R.

故金属杆运动到1.5x0处时速度大小为v=v02，安培力的瞬时功率为P=B2L2v028R．

1.2 单杆和电容器结合模型

当单杆和电容器相结合时,杆运动切割磁感线产生感应电动势,电容器会出现充、放电现象,电路中形成电流,杆受到安培力做变速运动最后达到稳定状态做匀速运动,应用动量定理和电流的定义式、电容的定义式、法拉第电磁感应定律相结合可以简洁明了地求出杆稳定运动的速度和电容器所带电荷量．

图2

例2.在图2中,除导体棒ab可动外,其余部分均固定不动,电容器C原来不带电．设导体棒、导轨的电阻均可忽略,导体棒和导轨间的摩擦也不计,图中装置均在水平面内,且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场B中,导轨足够长．导体棒的长度为L,质量为m,今给导体棒ab一个向右的初速度v0,试求:导体棒ab的最终运动速度．

解析:图2中,导体棒向右运动切割磁感线产生感应电动势使电容器充电,当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时,电路中没有电流,ab棒不再受安培力,向右做匀速运动.对导体棒:取水平向右为正，运动时间设为Δt.由动量定理有

(1)

由电流的定义式得

q=Δt.

(2)

由电容的定义式得

q=CU.

(3)

由法拉第电磁感应定律得

U=BLv.

(4)

由(1)～(4)式得

2 动量定理在电磁感应现象中和线圈相结合应用模型

线圈模型是物理学中常见模型,线圈进入和离开磁场时切割磁感线产生感应电动势,线圈本身组成闭合回路形成电流,线圈受到安培力．应用动量定理和动能定理、法拉第电磁感应定律巧妙结合可以准确求出线圈运动时间、速度和动能．下面为线圈在磁场中运动的两种模型．

2.1 线圈在水平面上运动模型

图3 物理情景示意图

例3.如图3所示,在光滑的水平面上,有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为L的区域内,现有一个边长为a(a

解析:线圈受重力、支持力和水平向左的安培力;设线圈质量为m,完全进入磁场中时运动时间为Δt,线圈的速度为v1、线圈的电阻为R,取水平向右为正．由动量定理有

-BaΔt=mv1-mv0.

(1)

由闭合电路欧姆定律得

(2)

由法拉第电磁感应定律有

(3)

其中

ΔΦ=Ba2.

(4)

由(1)～(4)式得

-B2a3R=mv1-mv0.

(5)

同理可得线圈完全离开磁场时有

-B2a3R=mv-mv1.

(6)

由(5)、(6)式得线圈完全进入磁场中时线圈的速度为

2.2 线圈在竖直方向上运动模型

图4

例4.如图4所示,a、b是边界范围、磁感应强度大小和方向都相同的两个匀强磁场区域,a的下端离水平地面的高度比b高一些．甲、乙是两个完全相同的闭合正方形导线框,分别位于a、b的正上方,两线框的下端离地面的高度相同．两线框由静止同时释放,穿过磁场后落到地面,下落过程中线框平面始终保持与磁场方向垂直．试比较甲、乙两线框落地时间．

解析:设线框的边长为L，线框离地高度为h,质量为m，电阻为R,线框运动时间为t，穿入和穿出的时间为Δt、落地速度设为v．

对线框:受重力,穿入和穿出磁场时受向上安培力,取向下为正方向．由动量定理有

mgt-BLΔt=mv.

(1)

由闭合电路欧姆定律有

(2)

由法拉第电磁感应定律有

(3)

其中

ΔΦ=2Bl2.

(4)

由(1)～(4)式得

t=mvR+2B2L3mgR.

(5)

乙进入磁场时速度较大,安培力较大,克服安培力做功多,乙线框中产生的热量较多．

由动能定理有

(6)

由(1)～(6)式得t甲>t乙故乙线框先落地.

3 动量定理在电磁感应现象中和双杆相结合应用模型

在双杆模型中,一般情况下两杆是变速运动,两杆受到的安培力是变力,学生在解答中有一定的难度,近几年在高考中较少命题． 但应用动量定理可以巧妙地解决电磁感应现象中的变力和变速问题．下面为双杆运动的两种模型．

3.1 双杆长度不相等类模型

图5

例5.如图5所示,光滑平行异形导轨ABCD与abcd,导轨的水平部分BCD处于竖直向上的匀强磁场中,BC段导轨宽度为CD段轨道宽度2倍,轨道足够长.将质量相同的金属棒P和Q分别置于轨道上的AB和CD段,将P棒由水平轨道高为h的地方由静止释放,使其自由下滑,求:P棒和Q棒的最终速度．

解析:设P、Q棒的质量为m,长度分别为2L和L,磁感应强度为B,P棒进入水平轨道的速度为v．

对金属棒P:下落h过程由动能定理有

mgh=12mv2.

(1)

则棒刚进入磁场时的速度为

v=2gh.

(2)

当P棒进入水平轨道后,切割磁感线产生感应电流.P棒受到安培力作用而减速,Q棒受到安培力作用而加速,Q棒运动后也将产生感应电动势,与P棒感应电动势反向,因此回路中的电流将减小.最终达到匀速运动时,回路的电流为零．即

2BLvP=BLvQ.

(3)

设P棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为Δt,I为回路中的电流，取水平向右的方向为正方向．

对金属棒P:由动量定理得

-2BILΔt=mvP-mv.

(4)

对金属棒Q:由动量定理得

BILΔt=mvQ-0.

(5)

由(2)～(5)式得P棒和Q棒的最终速度分别为

vP=152gh，vQ=252gh.

2.2 双杆长度相等类模型

图6

例6.(2003年全国理综天津卷)如图6所示,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度B=0.50 T的匀强磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略不计．导轨间的距离l=0.20 m．两根质量均为m=0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂直,每根金属杆的电阻为R=0.5 Ω．在t=0时刻,两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动．经过t=5.0 s,金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s2,问此时两金属杆的速度各为多少?

解析:设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为v1和v2,经过很短的时间Δt,甲杆移动距离v1Δt,杆乙移动距离v2Δt,回路面积改变为

ΔS=[(x-v2Δt)+v1Δt]l-lx=

(v1-v2)lΔt.

(1)

由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势为

E=BΔSΔt.

(2)

回路中的电流为

i=E2R.

(3)

甲杆的运动方程为

F-Bli=ma.

(4)

由于作用于甲杆和乙杆的安培力总是大小相等,方向相反．对甲、乙两杆:由动量定理得

Ft=mv1+mv2.

(5)

由(1)～(5)式解得

v1=12F1m+2RB2F(F-ma),

v2=12F1m-2RB2I2(F-ma).

代入数据得v1=8.15 m/s,v2=1.85 m/s.

综上所述,在电磁感应现象中应用动量定理解题,使解题过程更加简洁、清晰明了，既能培养学生综合分析问题、解决问题的能力,又能满足高校选拔优秀人才要求．

1 姜钢.探索构建高考评价体系，全方位推进高考内容改革[N]．中国教育报，2016(10)．

2016-11-28)