以海面质点垂向加速度为判据的白浪绘制

陈丽宁, 金一丞, 尹勇

(1.广州航海学院 海运学院，广东 广州 510725； 2.大连海事大学 航海动态仿真与控制交通行业重点实验室，辽宁 大连 116026)

以海面质点垂向加速度为判据的白浪绘制

陈丽宁, 金一丞, 尹勇

(1.广州航海学院 海运学院，广东 广州 510725； 2.大连海事大学 航海动态仿真与控制交通行业重点实验室，辽宁 大连 116026)

白浪绘制中常用海面高程、Jacobian行列式作为白浪生成的判据，但这两种方法缺乏海洋工程相关理论的支持，绘制结果不够逼真。针对上述问题，本文提出了以海面质点垂向加速度为判据的白浪绘制方法。推导了海面质点垂向加速度的快速傅里叶逆变换形式，并给出了以海面质点垂向加速度为变量的连续型白浪覆盖率随机函数，通过调整该函数的参数来控制白浪消逝的时间。实验结果表明：用该函数计算的白浪覆盖率均值与采用统计模型计算的白浪覆盖率相等。将该白浪覆盖率作为融合因子，融合白浪纹理像素颜色和海面像素颜色。本文提出的白浪绘制方法有合理的理论依据，计算量小，绘制的白浪与蒲氏风级对白浪的描述接近，帧率可以达到实时计算。

Gerstner波；海浪绘制；海浪谱；白浪；白浪覆盖率；蒲式风级

白浪是指深水风浪破碎产生于海面附近的泡沫与水的混合物[1]。谈及白浪绘制，不得不首先介绍海浪绘制。Gerstner波是实时绘制海浪的有效方法之一，广泛应用于虚拟现实、影视娱乐、军事、航海仿真等领域。Gerstner波是一种有限振幅波模型，用于描述无粘性、不可压缩的重力波，计算量较小，适合大尺度海浪的实时绘制。

目前Gerstner波绘制海浪的主要研究集中在海浪谱采样、海面网格、海面纹理映射、光照模型、船行波特效、噪声扰动等方面。这些研究虽然提高了绘制效率、增强了绘制海浪的真实感，但缺少了对一个重要的自然现象——白浪绘制的研究。虽然有学者对白浪的绘制进行了研究，但是现有方法存在明显的不足，如：判据缺乏海洋工程、随机海浪等领域理论依据支持；仅提出了要绘制白浪，但未给出确切的实现方法。海浪绘制中，白浪对增强海浪的真实感具有重要作用。缺少白浪的海浪绘制方法是不完整的。

针对上述问题，本文作者提出了一种以海面质点垂向加速度为判据的白浪绘制方法。这种方法以海面质点垂向加速度为判据，并用该量计算白浪覆盖率，用该白浪覆盖率作为纹理融合因子进行纹理融合，实现白浪的实时绘制。本文提出的白浪绘制方法有合理的理论依据，计算量小，绘制结果令人满意。

1 基于Gerstner波的海浪及白浪绘制的相关工作

1.1 基于Gerstner波的海浪绘制

Gerstner波用一系列的余弦波叠加来描述海浪运动。使用Gerstner波进行海浪绘制又可分为两种方法：直接使用Gerstner波法和使用快速傅里叶变换(inverse fast Fourier transform, IFFT)形式的Gerstner波法，即IFFT Gerstner波法。直接使用Gerstner波法中，可用方向谱计算余弦波振幅，方向谱等于频率谱和方向分布函数的乘积。IFFT Gerstner波法中，可用波数谱计算余弦波振幅。方向谱、频率谱和波数谱均为海浪谱，三者间的关系见文献[2]。

在海面建立笛卡儿坐标系：平面xoy为海平面，z轴垂直向上，海面质点平衡位置为(xpq,0)，xpq=(xp,yq)。根据Gerstner波模型，t时刻海面质点的位置为(xpq+λD(xpq,t),η(xpq,t))，D(xpq,t)=(Dx(xpq,t),Dy(xpq,t))为Choppy波向量，η(xpq,t)为海面质点高程，即海面质点偏离平衡位置的高度，λ≥0。直接使用Gerstner波法中，η(xpq,t)和D(xpq,t)可写为

Nelson[3]用该方法绘制海浪，所用模型中既没使用Choppy波，也不包含随机相位移，绘制结果为规则波。Fournier等[4]引入了Choppy波，Choppy波使得绘制海浪波峰较为尖锐，波谷较为平坦，波形更接近于实际情况[5]。Thon等[6-7]用方向谱计算余弦波振幅，提出了有自适应能力的方向谱采样法，并在Gerstner波中增加了随机数，使得绘制结果为不规则波。陆续有一些优化方法用于海面网格以改进绘制效果，这些方法包括投影网格[8]、顶点聚类简化算法[9]、细节层次(levelofdetail,LOD)网格[10-12]等。为了使得绘制海面光照更为逼真，可以采用BRDF模型[13-14]。Horvath[15]使用TMA谱构造方向谱，并在其中加入了涌浪参数，这样可以借助Gerstner波绘制涌浪。文献[3-15]均使用Gerstner波网格模型来绘制海面，Yuksel等[16]采用了粒子Gersnter波，通过检测粒子与固体的碰撞模拟了船行波。

虽然直接使用Gerstner波模型比较方便，但是当余弦波数量较大时，直接叠加计算量很大。可以采用IFFT来代替直接叠加。IFFT降低了直接叠加的计算量，且并行性较强，在GPU、FPGA等并行处理器上运行效率更高。Tessendorf[17]首先使用IFFTGerstner波法，将式(1)写为IFFT形式：

式中ε1和ε2为相互独立的Gauss随机数。令E表示均值，V表示方差，E(ε1)=E(ε2)=0，V(ε1)=V(ε2)=1，Ψ(kij)为波数谱。

与直接使用Gerstner波类似，IFFTGerstner波绘制的海面也可以用网格进行优化，例如与投影网格相结合的LOD网格[18]、同心圆网格[19]、多尺度IFFT网格[20-21]以及球面投影网格[22]。纹理映射技术也可以应用到IFFTGerstner波绘制的海浪，包括凹凸纹理[23]、高度图[24]。Won等[25]使用了基于真实光照的BRDF改进海面光照效果。Cords等[26]在船体附近设置一系列粒子，通过计算粒子与海面的耦合模拟船行波。Liu等[27]用基于完全匹配层(perfectlymatchedlayers,PML)法的网格检测海面与刚体的交互。Li等[28]提出了一种随船运动的多级LOD网格模拟船行波，船行波参数由Verlet积分法来解算。

文献[17-28]主要使用的波数谱为Phillips谱：

式中：APh为Phillips谱的常数，U为风速率，α为风向与x轴正方向的夹角。

虽然ΨPh(k)使用广泛[17-28]，但相关文献中APh的值却未给出。本文参考P-M谱计算出APh=3.48×10-3，其风速率应为距离海面19.5 m高度处风速率，记为U19.5[29]。然而在使用ΨPh(k)及其他类型波数谱绘制海浪时均出现波幅畸变[30]。本文发现虽然文献[17-28]虽使用了IFFTGerstner波算法，但未进行推导。于是本文进行重新推导并做了比较研究，发现式(5)、(6)遗漏了kij的离散积分域面积Δsk，绘制结果出现波形畸变，式(5)、(6)应分别改写为[30]

1.2 白浪绘制

在海洋工程、随机海浪等领域中，白浪生成的常用判据包括：海面质点垂向加速度、海面质点水平方向速度、波顶角等[1]。

通过以上分析，可见基于Gerstner波的海浪绘制研究主要集中在几个方面：基本算法的提出[3-4,17]、海浪谱的采样[6-7,15]、海面网格的优化[8-12,18-22]、纹理映射[24-25]、海面光照模型[13-14,25]、固液耦合及船行波[16,26-28]，而白浪绘制的研究相对较少，主要集中在IFFT Gerstner波法中。绘制中常用的白浪生成判据包括：海面高程、Jacobian行列式、海面质点垂向加速度。

由于海面高程可由式(2)直接获得，Grindstad等[31]用海面高程来检测白浪的生成，即认为高程超过门限值即生成白浪。该方法的优点是简单，计算量小；主要问题是所用白浪生成判据缺少海洋工程等领域的理论依据支持，高程门限值也未给出，且绘制结果与实际情况差异较大。

Tessendorf指出[17]，当λ较大时，在波峰附近会出现海面网格自相交，自相交区域的Jacobian行列式为负，可认为网格自相交区域的海浪发生破碎，因此建议用Jacobian行列式作为生成白浪的判据。Jacobian行列式写为

计算Jxx、Jyy、Jxy均需进行IFFT，即计算一次J(xpq,t)，需要进行三次IFFT。

Wang等[32]用Jacobian行列式检测波浪发生破碎的位置，并实现了飞溅特效。Dupuy等[33]用Jacobian行列式计算白浪覆盖率，将白浪覆盖率用于海面光照计算，进而绘制白浪。Dupuy等[33]的方法具有以下优点：1)可以用Jacobian行列式检测出波峰附近的海面网格自相交区域，将其作为白浪生成的位置；2)用Jacobian行列式计算白浪覆盖率，在海面光照模型中使用白浪覆盖率实时绘制白浪，绘制的白浪有浓淡。虽然这种方法有一定的效果，但存在几点不足：1)计算量较大，计算一次Jacobian行列式需要进行3次IFFT；2)以Jacobian行列式为判据，缺少海洋工程、随机海浪领域的理论依据支持，绘制的白浪与实际情况差异较大；3)稳定性不佳[34]。虽然存在上述不足，但在海面光照模型中使用白浪覆盖率的方法将白浪覆盖率和纹理融合进行有机结合，在一定程度上改善了白浪绘制的结果，这是非常值得借鉴的。因此本文也考虑在海面光照计算中使用白浪覆盖率，但计算白浪覆盖率所用的参量应为海洋工程、随机海浪等领域中可作为白浪生成判据的物理量。

在深水中，当波陡达到极限状态，波面不足以维持而导致破碎发生，产生白浪[35-36]。然而波陡的直接观测很困难[37]，因此可用其他相关物理量代替波陡作为白浪生成的判据。当波陡达到极限状态时，海面质点垂向加速度超过某一值，因此可用海面质点垂向加速度作为白浪生成的判据[35-36]。Schwenger等[38]提出用海面质点垂向加速度为判据绘制白浪，遗憾的是未给出具体实现方法。

2 基于海面质点垂向加速度的白浪绘制

本节首先推导了海面质点垂向加速度的IFFT形式。进而提出了白浪绘制中白浪覆盖率的连续型随机函数，该随机函数以海面质点垂向加速度为变量，通过调整函数的参数，可控制白浪消逝的时间。将该白浪覆盖率作为融合因子融合白浪纹理像素颜色和海面像素颜色，实现白浪的实时绘制。

2.1 海面质点垂向加速度的计算

令az(xpq,t)为海面质点垂向加速度，则

根据省耕地质量监测实施方案的要求，坚持“四统一”原则进行耕地质量监测点的建设。监测点选择在生产管理方法及水平与当地大面积生产相同或相似的地方，省级监测点设4个处理小区，即：长期无肥区、当季无肥区、常规施肥区、测土配方施肥区。常规施肥区面积不小于333.4 m2，长期无肥区、当年无肥区、测土配方施肥区面积为66.7 m2。长期无肥区和测土施肥区用水泥做成永久性隔离小区，小区进水口位于进水渠上游。其余小区用塑料薄膜嵌入地下做成防渗漏的田埂来隔离。当年无肥区在监测点田块内活动轮换，5年以上轮换一次[1]。

为了快速计算出az(xpq,t)，可考虑将其整理为IFFT形式。首先将式(12)写为复数形式：

参照文献[30]，可将式(13)写为IFFT形式：

因此，通过IFFT可实时计算az(xpq,t)，且计算一次az(xpq,t)，只需要进行一次IFFT，计算az(xpq,t)所需的计算量远远小于第1节介绍的计算Jacobian行列式J(xpq,t)的计算量。

2.2 白浪绘制中的白浪覆盖率计算

白浪覆盖面积所占观察面积(充分大)的比例称为白浪覆盖率[1]，可视为一个统计特征。海洋工程上的白浪覆盖率有两种计算方式：经验公式计算和统计模型计算。

用航拍、雷达等工具对海浪进行观测，对观测数据进行分析、拟合，可得到白浪覆盖率的经验公式，该类经验公式的参数常包含风速。常用的经验公式包括[39-41]：

式中：We为由经验公式计算的白浪覆盖率，U10与U19.5的关系为U10=0.901 6U19.5。

白浪覆盖率还可以用统计模型计算。即用相关海浪参数的概率密度函数的定积分计算。在海洋工程和随机海浪理论中，可用海面质点垂向加速度az作为判据检测白浪的生成，认为az≤-βg时海浪会发生破碎，生成白浪，其中β=0.4[36]。由式(12)可知，az服从正态分布，E(az)=0，V(az)=m4，m4为4阶谱矩。则以az为判据的通过统计模型计算白浪覆盖率为[36]

当风参数一定，We和Waz均为定值。

在绘制白浪时，文献[38]把白浪覆盖率作为一随机值，将计算所得的白浪覆盖率作为融合因子来融合白浪纹理像素颜色和海面像素颜色。这使得绘制的白浪有浓淡变化，改进了白浪的绘制效果，本文借鉴了这一思路。令C为经纹理融合后的海面像素颜色：

式中：CF为不含白浪的海面像素颜色，CW为白浪纹理像素的颜色，WR为计算所得的白浪覆盖率，为随机值。在计算WR时，有几点需要考虑：1)WR随机函数的变量应为海洋工程、随机海浪等领域中可作为白浪生成判据的物理量, 这样计算所得的WR具合理的理论依据；2)该物理量便于实时计算，对绘制帧率影响较小；3)应使E(WR)与海洋工程中的白浪覆盖率接近，这样绘制白浪的面积随风参数的变化而变化，以较为准确的反映风参数对白浪的影响。基于上述考虑，可用az作为WR随机函数的变量，首先用阶跃形式的随机函数计算WR：

其中β=0.4。式(25)可保证E(WR)=Waz。将式(25)用于白浪绘制，则白浪生成、消逝过快，且没有浓淡变化，绘制结果不理想。因此考虑使用连续随机函数计算WR，这样使得绘制的白浪生成、消逝较慢，具有一定的延续性，有浓淡变化，绘制结果较为逼真。令WR的连续型随机函数为

式中：α1∈(0,β),α2∈(β,),β1=1/ln(α2/α1)。式(26)中，用α1、α2控制az值域边界，当az∈(-α2g,-α1g)时，用az计算的WR的值连续；β1将WR限制在0～1。图1为WR的曲线。E(WR)=Waz可进一步写为

图1 白浪绘制中白浪覆盖率曲线Fig.1 Curve of whitecap coverage in whitecap rendering

为了便于计算，可令α1为定值，根据α1解算出相应的α2和β1。由于难以从式(28)中解算出α2的精确解，因此用优化算法计算α2的最优解。使用标准遗传算法(standardgeneticalgorithm,SGA)来计算α2，目标度函数为

表1为SGA的参数，表2为解算出的α1、α2和β1的值。α1越小，α2-α1越大，式(26)中f1(az)的域越宽，白浪消逝的时间越长。SGA较为耗时，本文的方法中SGA采用离线计算，对帧率没有影响。

表1 SGA参数

表2 SGA解算出的α1、α2和β1(β=0.4)Table 2 α1, α2 and β1 computed by SGA (β=0.4)

2.3 海面像素颜色的融合

在白浪绘制中，用式(24)融合了海面像素颜色和白浪纹理颜色，融合因子为白浪覆盖率WR。WR用式(26)的连续型随机函数计算。采用本文方法绘制的白浪，生成、消逝有一定的延续性，有浓淡变化，可以较为准确的反映风参数对白浪的影响。

3 实验结果

蒲氏风级划分了风力等级，并给出了每级风对应的海面情形，在航海、气象等领域应用广泛。表3为蒲氏风级。在计算Phillips谱常数时，参照了P-M谱。实测P-M谱的U19.5约为10～20m/s，对应蒲氏5～7级风。图2为采用本文方法的绘制结果。图2中绘制的海面共有17×17个面片，每个面片尺寸为512m×512m，IFFT网格数量为256×256，在IntelCore(TM)i5-4460CPU、4GB内存、GeforceGTX660GPU的机器上，绘制帧率为70帧/s。

图2 本文方法的绘制结果Fig.2 Rendering results of the method raised by the paper

表3 蒲氏风级(5～7级风)

4 实验结果的比较与分析

将绘制结果与实拍海面照片和蒲氏风级进行比较。图3为实拍海面照片[42]。从图2可以看出，随着风速率的增加，本文方法绘制海面的白浪覆盖变大，白浪的形状发生变化。在5级风时，绘制的白浪偶尔出现；在6级风时，绘制白浪的面积更大；在7级风时，绘制白浪的形状沿风成条。显然，本文方法的绘制结果与实拍海面照片接近，与蒲氏风级中的描述一致。图4为文献[33]方法的绘制结果，与实际拍摄海面差异较大。图5为文献[31,38]方法的绘制结果，图5(a)和实际拍摄海面差异也较大，图5(b)与本文绘制结果接近，但文献[38]未给出具体实现方法。图6为使用式(19)～(22)计算的白浪覆盖率。从图6中可见，E(WR)与经验公式数值接近，即本文绘制的海浪的白浪覆盖率均值与实际观测白浪覆盖率均值接近。

图3 实拍海面照片Fig.3 Photos of actual sea surface

图4 文献[33]方法的绘制结果Fig.4 Rendering results of the method in reference [33]

图5 文献[31,38]方法的绘制结果Fig.5 Rendering results of reference [31,38]

图6 白浪覆盖率曲线Fig.6 Curves of whitecap coverage

5 结论

基于Gerstner波模型的白浪绘制通常采用海面高程、Jacobian行列式作为白浪生成的判据，但这两种方法缺乏海洋工程领域的相关理论依据，绘制结果不够逼真。针对上述问题，提出了一种以海面质点垂向加速度为判据的白浪绘制方法。该方法的主要特点包括： 1)以海面质点垂向加速度为判据，具有海洋工程领域的理论依据； 2)给出了白浪覆盖率的随机函数，该函数以海面质点垂向加速度为变量，将白浪覆盖率作为融合因子融合泡沫纹理与海浪像素纹理； 3)通过调整该随机函数的参数，可以控制白浪消逝的时间。用本文方法绘制的白浪与实拍海面照片中的白浪较为接近，符合蒲氏风级的描述，计算量较小。

虽然本文绘制的白浪绘制已经取得一定的效果，但还可以尝试从以下几方面对绘制结果进行进一步改善： 1)尝试使用逐像素过滤的方式改进绘制效果； 2)尝试使用曲面细分着色器对海面几何体网格进行进一步细分，使得绘制结果更为精细，并保持较高的绘制帧率；3)在白浪生成位置增加粒子，模拟飞溅；4)白浪的生成会产生能量的损失，本文的方法未考虑能量的损失，因此，下一步工作应考虑生成白浪引起的能量损失。另外，目前大尺度海浪绘制主要集中在深水风浪，而对于涌浪、混合浪绘制的研究则较少。因此，下一步还可以考虑开展大尺度涌浪、混合浪绘制的研究。

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Whitecap rendering with vertical acceleration of sea surface particles as criterion

CHEN Lining1, JIN Yicheng2, YIN Yong2

(1.School of Navigation, Guangzhou Maritime University, Guangzhou 510725, China; 2.Key Laboratory of Marine Dynamic Simulation & Control for Ministry of Transport, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China)

In whitecap rendering, the height field and Jacobian determinant of the sea surface are considered as criteria for whitecap generation. However, both these methods lack theoretical basis for ocean engineering, and the rendering results are not realistic enough. To solve these problems, this paper presents a whitecap rendering method with vertical acceleration of sea surface particles as a criterion. Herein, the inverse fast Fourier transform form of the vertical acceleration was deduced, the random function of whitecap coverage was provided with the vertical acceleration of sea surface particles as a criterion, and the time of whitecap decay was controlled by changing the parameters of this random function. Experimental results show that the mean value of the whitecap coverage computed by the random function equals to that computed by the statistical model. The whitecap coverage computed by the random function is used as a blending factor to blend the pixel colors of the whitecap texture and sea surface. The presented method has sound theoretical basis, and its computational complexity is small. The rendered whitecap accords with the description in the Beaufort scale, and the frame rate can be real time computed.

Gerstner wave; ocean wave rendering; wave spectrum; whitecap; whitecap coverage; Beaufort scale

2016-02-23.

日期：2017-01-12.

国家高技术研究发展计划(2015AA016404)；中央高校基本科研业务经费项目(3132013302).

陈丽宁(1981-)，男，讲师； 金一丞(1944-)，男，教授，博士生导师； 尹勇(1969-)，男，教授，博士生导师.

陈丽宁，E-mail: lnchen1981@163.com.

10.11990/jheu.201603011

TP391

A

1006-7043(2017)03-0363-08

陈丽宁, 金一丞, 尹勇. 以海面质点垂向加速度为判据的白浪绘制[J]. 哈尔滨工程大学学报, 2017, 38(3):363-370.

CHEN Lining，JIN Yicheng，YIN Yong. Whitecap rendering with vertical acceleration of sea surface particles as criterion[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(3):363-370.

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