直线与圆位置关系的解题教学

冯慧敏++袁丽婧

[摘要]在数学学习中，学生对于概念的的获得、定理的运用通常通过解题来实现。为促进学生解题能力的形成，教师在实际教学中要善于运用解题思想进行教学。本研究利用波利亚的“怎样解题表”探究圆的标准方程，以期对教育者们有有一定的启示作用。

[关键词]解题教学；波利亚；启发性

【中图分类号】G633.6

波利亚的《怎样解题》以注重研究数学解题的思维过程为特色，在解题方面是数学启发法现代研究的先驱。波利亚认为学生不需要获得解决所有问题的万能方法，他强调数学思想和方法的教学，期望学生在分析解题的过程中形成自己的模式，以便在以后的解题过程中可以运用。根据之前成功的的模式和方法，波利亚总结出了一份“怎样解题表”，表中将解决问题分为四个阶段：

首先，我们必须了解问题，我们必须清楚的看到要求的是什么？

其次，我们必须了解各个项之间有怎样的联系？未知数和数据之间有什么关系？为了得到解题的思路，我们应该制定一个具体的方案。

再次，实现我们的计划。

最后，回顾所完成的解答，对它进行检查和记忆。

直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想.首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法.其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用.本研究中，教师借助《直线与圆的位置关系》的教学对解题表中的四个阶段进行详细阐述，以供参考。

问题：一个小岛的周围有很多暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，30千米为半径的圆形区域内。现在，小岛位于轮船正西70千米处港口位于小岛正北40千米处，如果轮船沿直线回港口，是否会触礁？

一、弄清题目

师：在这个问题中，已知条件有哪些？要求的问题是什么？

生：已知条件是小岛和轮船，小岛和港口的相对位置及暗礁的分布区域，要求的是轮船直线返回会不会触礁。

师：怎么判断轮船会不会触礁？

生：看轮船的航线与暗礁所在的圆形区域有没有交点，若有交点则会触礁，若无交点则不会触礁。

二、拟定计划

师：这就转化为了判断直线与圆的位置关系的问题，但是这道题里没有具体的点的坐标和圆的方程，你能把它转化为数学语言吗？

生：建立以小岛为中心的直角坐标系，取正北方向为 轴的正方向，正东方向为 轴的正方向，则可以得到港口的坐标为 ，轮船的坐标为 ，圆的方程即为 。

师：那我们怎么判断直线与圆有无交点呢，我们之前解决过类似的问题没？

生：前面学两条直线的位置关系时，联立两直线的方程，看有无公共解，若有，则有交点；若无，则无公共点。

师：我们这里要联立哪些图形的方程？

生：轮船航线所在的直线方程和暗礁所在圆形区域的方程。

师：我们的已知条件是否充分，若不充分，还缺少什么？你能求得缺少的条件吗？

生：已知条件不充分，缺少航线所在直线的方程，但是我们可以通过轮船和港口的位置获得所需直线的方程。

师：很好，有了直线和圆的方程之后，联系起来，我们就可以根据公共解的有无判断直线和圆的位置关系了，这是我们设想的计划。

三、執行计划

生：建立如图所示的直角坐标系，已知直线过点 和 ，则可以得到直线的方程为： ，联立直线与圆的方程：

求解即可。

四、回顾

师：你能从其它角度验证你的答案是否正确吗？

生：我们还可以求圆心到直线的距离，根据距离与半径的关系判断直线与圆的位置关系。

师：很好，这位同学从几何的角度对这个问题做了处理，这两种方法都是可行的，同学们可以课下进行检验两种方法做出的结果是否相同。同学们思考一下，若再碰到判断图形是否相交的问题，我们怎样进行解决？

生：求出图形的解析式，联立起来，看是否有公共解即可。

波利亚解题表中最重视的是对学生思维的启发，主张苏格拉底的产婆式问答法。教师在教学过程中，不要基于表达自己的想法，要尽可能的使学生表达他们的想法。在这堂课中，教师使用的语言主要为提示语，如：已知条件有哪些？我们之前解决过类似的问题没？这些提示语的使用实际上是使解题者自我反思，自我诘问，有利于培养学生良好的解题习惯和反思习惯。因此，这种教学方法，无论是对激发学生学数学的兴趣，还是培养学生数学思维能力都具有重要的意义。

参考文献

[1]波利亚.怎样解题[M].科学出版社，1982.

[2]施良方，崔允漷.教学理论：课堂教学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大学出版社，1999.