学生数学信念研究三十年：回顾与展望

张 胜

(天津师范大学教师教育学院 300387)

数学信念自上世纪80年代由Schoenfeld提出以来，以其对学生数学问题解决及数学学业成就的重要影响，备受研究者关注.作为当今国际数学教育界的研究热点之一，数学信念自ICME-10(2004年)至ICME-13(2016年)持续作为国际数学教育大会“数学学习心理学”研究主题的热点议题出现[1].截止2017年6月，在SSCI数据库中以“mathematical beliefs”、“beliefs to the mathematics”、“mathematics beliefs”等为主题、在CSSCI数据库以“数学信念”为主题查询，累计相关文献已达千余篇.对三十余年来学生数学信念的相关重要研究进行系统地回顾与展望，以期推动学生数学信念研究的进一步发展.

1 信念及其特征

对于“信念”的概念界定，学界一直未能达成共识[2].对其做一个具有统一意义的界定十分困难，究其原因有二：其一，由于研究的内容和角度不同，信念被不同研究者赋予了不同的意义[3]，而鉴于对“信念”进行界定的难度，研究者通常认定读者们能够以一种默会的方式领会其含义.Mason在2004年曾对以往研究中与信念相关的概念进行了总结，并将其按从A字母到Z字母的顺序列出，例如“A”有“attitude”(态度)、“affect”(情感)、“aptitudes”(能力倾向)、“aims”(目标)[4].由此可见，与信念相关的概念体系是十分庞大的.其二，信念的复杂性[5]致使其很容易与其它概念，如知识、态度等相混淆，因为信念与态度、知识之间的关系很密切，差别却非常模糊.Thompson[6]对信念和知识做了区分——知识具有“客观真实性”，而信念则具有主观性，不同的人持有的信念是不一致的.虽然信念和知识不尽相同，但是两者存在密切的联系.就哲学角度而言，知识可以认为是已经被证明为正确的信念.社会建构主义持有同样的观点，即一个人的信念经社会验证为正确后就会成为知识[7].心理学家Fishbein将态度界定为“个人习得的对某一事物或某一类事物的好恶倾向”[8].他认为态度归属于情感，而信念更多与意识有关.在数学教育研究中，有部分学者通过“稳定程度”来对二者进行区分，认为“信念”较“态度”而言，更为稳定，形成更为缓慢，认知成分更多[9].

信念的复杂特性，促使研究者们将个体持有的信念放在一个系统中去考虑.Goldin对信念结构(belief structure)与信念系统(belief system)进行了区分，他认为信念结构是一套个人所持有的相互一致的，相互补充的，相互支持的信念，主要是认知的，也包括情感的成分[10].信念系统则是一个复杂的、大规模的信念结构，它是由社会或文化所共享的信念结构[11].

Green[12]认为信念作为系统有其独特的特征，并引入准逻辑性(quasi-logicalness)、心理中心性(psychological centrality)、簇聚结构(cluster structure)三个维度来对信念系统进行描述.其中准逻辑性和心理中心性与信念系统本身无关，而意在对个体如何持有信念进行描述.所谓准逻辑性是指，个体在其自身的信念系统中有其独特、个性化的逻辑，而这种逻辑本身未必严格符合逻辑规律，故称“准逻辑性”.心理中心性是指某些信念比其它信念更为重要，在心理上居于中心，而其它的信念在边缘位置.这与Rokeach的观点是相似的.Rokeach[13]把信念的结构比做原子的结构，如同原子核把不同的电子集中在一起成为一个稳定的结构，有一些信念作为中心信念而存在并把其他相应的信念组织在一起而构成一个相对稳定的信念系统.处于中心的信念是最强烈的信念，而边缘的则是最易改变的信念.簇聚结构是对信念系统本身的描述，它是指个体的信念以簇状(Clusters)丛生的形式，成群地聚合在一起.这说明，个体所具有的某一个信念与其他的信念并不是完全独立的，而这也导致个体在自身的信念系统内可能会具有不一致、甚至相矛盾的信念.

综上可知，虽然对“信念”做出明确的界定十分困难，但学界目前就信念的特性基本达成共识，即信念是认知与情感的共同部分，并且认知信念在信念整体中占较大部分，其比例高于情感信念.信念为个体所持有，具有个性化特点，未必严格符合逻辑规律.个体信念系统中的不同信念在心理上居于不同地位，因而其强烈程度会有所不同.此外，同一个体的不同信念之间可能相互矛盾，而对个体行为具有决定性作用的，是处于中心位置的信念.

2 学生数学信念及其系统

最早提出“数学信念”的是美国数学教育家Schoenfeld.他在进行数学问题解决的相关研究时，发现了学生认识论信念(epistemological beliefs)对学生问题解决能力的影响[14].这一发现促使Schoenfeld建立了一个针对数学问题解决的全新实证框架，在此框架中信念系统发挥了最为根本和极为微妙的作用[15].他指出，纯粹的认知行为极为罕见，个人对任务性质的看法可能会影响他们在特定情境下的智力表现(intellectual performance).也即是说，数学世界观(mathematical worldview)塑造运用数学的方式[16].Schoenfeld的论证也得到了20世纪末至21世纪初一些研究[17-20]的认可.

自Schoenfeld提出数学信念后，许多学者对其进行了更为深入的研究.由于学者们对“数学信念”的界定众说纷纭，因而对数学信念系统结构的看法也不尽相同.按照时间顺序，学界对数学信念系统的代表性观点有以下几种：

Martha L Frank[21]通过对中学生的数学学习过程进行观察、分析，将学生数学信念系统概括为 5 类，分别为关于数学本质的信念、关于数学问题的信念、关于数学问题解决的信念、关于数学学习的信念、关于数学教学的信念.

Underhill[22]通过对数学学习者的信念进行综述，将学生的数学信念总结为 4个方面，分别是：数学作为一门学科的信念，即学生对数学本质的认识；关于数学学习的信念，即学生认为哪些数学学习策略有效；关于数学教学的信念，即学生认为哪些数学教学策略有效；关于学习者自我在数学学习、教学情境中的信念.Underhill首次在对数学信念系统结构的探讨中将情境因素考虑在内.

McLeod[23]将数学信念划分为4个范畴，分别为关于数学的信念，涵盖了Underhill结构中的前两个方面，并加入了数学有用性信念；关于自我的信念，包括成败归因、自我效能感等；关于数学教学的信念，与Underhill结构中的第三方面一致，侧重教师应如何帮助学生学习数学；关于社会环境的信念，在Underhill结构原有第四方面的基础上，又考虑了更多来自社会环境、家庭环境、学校环境等方面的因素，如父母或其他人认为数学学习是竞争的.

Kloosterman[24]将 McLeod 结构中的4个范畴整合为两种基本类型：第一种是关于数学的信念，第二种是关于学习数学的信念，并将关于学习数学的信念进一步划分为 3个子类型：自己作为数学学习者的信念、关于教师角色的信念与数学学习中的其他信念.

De Corte E等[3]结合情境认知理论，认为个体的信念主要涉及自我、对象及环境，考虑到学生主要是在学校教育的课堂环境中发展自己的信念，故主要关注最为重要的课堂环境因素.因此将学生的数学信念包括自我信念(自我)、数学教育信念(对象)、课堂环境信念(环境)3个部分.其中，自我信念包括与数学有关的内在目标导向信念、外在目标导向信念、任务价值信念、控制信念和自我效能信念；数学教育信念包括学生对数学的信念、对数学学习和问题解决的信念和对数学教的信念；学生在具体课堂环境下的信念可分为对教师角色与作用的信念、对课堂中同学们角色与作用的信念、对课堂中社会数学规范和实践的信念.

Schommer[25]研究了 5 种数学信念，包括数学知识结构的信念、数学知识稳定性的信念、数学知识来源的信念、数学学习速度的信念与数学学习能力的信念.其中前三种指向的是“数学”，后两种分别指向的是“数学学习”与“自我”.

唐剑岚[26]等认为学生数学信念的成分主要包括3个部分：一是学生对自我与数学学习、问题解决关系的看法，譬如“我对理解数学没指望，通过记忆数学知识来解决数学问题”；二是学生对数学本质、数学学习、问题解决的看法，譬如“数学问题只有一个正确答案”；三是学生对数学活动中的社会情境的看法，譬如“在学校学的数学与现实世界没有或很少有联系”.在结合Muis[27]既有观点，即“数学信念系统包括学生对数学知识的信念系统和数学学习的信念系统，每个信念系统又由多个相对独立的维度构成”的基础上，进一步提出，数学知识的信念系统主要包括4个维度，分别是：学生对数学知识来源的信念、学生对数学知识稳定性的信念、学生对数学知识结构性的信念、学生对数学知识判断的信念；数学学习的信念系统主要包括3个维度，分别是：学生对自己数学学习能力的信念、学生对数学学习速度的信念、学生对数学学习方式的信念.这与 Schommer 对数学信念的划分结构较为一致，只是在其原有基础上增加了数学知识来源与数学知识判断.数学知识信念系统中的4个维度在内涵上隶属于McLeod提出的“关于数学的信念”，而数学学习信念系统中的3个维度则指向Martha L Frank 提出的“关于数学学习的信念”.

刘展等[28]通过对初中生与高中生数学信念系统进行问卷调查，采用因子分析探索了学生数学信念系统结构，研究表明，学生的数学信念系统包括数学信念、数学学习信念、数学教学信念、自我信念、学习环境信念，学生数学信念的三个因子是数学本质、数学价值、数学认识论，学生数学学习信念的四个因子是数学学习方法、学生的发展观、学生的能力观、数学学习思维，学生数学教学信念的四个因子是教学评价、教学方式、学生心理素质的培养、教学目的，学生数学自我信念的四个因子是内部归因、外部归因、学习目的、自信，学生数学学习环境信念的四个因子是心理环境、课堂环境、家庭环境、社会环境.

金美月等[29]在对国内外学生数学信念系统研究进行综述的基础上，经过整理分析，把学生数学信念系统概括为数学、数学学习、数学教学、自我、学习环境等信念.同时指出，学生的学习环境不只有课堂环境和家庭环境.随着科技的发展，其呈现出多样化的趋势.因此，在探讨学生数学信念系统时，应根据研究需要，全面考察学生数学信念系统中社会情境的构成要素，保证信念系统的完整性．因此，研究学生数学信念系统时，还应包括数学活动的社会情境信念.

综上可知，自Schoenfeld提出数学信念以来，国内外许多学者致力于对数学信念系统的完善.关于学生数学信念系统构成要素的观点在不断的研究中逐渐趋于一致，即包括自我、数学、数学学习、数学教学、环境等五个范畴的信念.其中，学生关于自我的信念主要是指学生个体对其自身与数学关系的信念，主要包括数学成败归因、数学自我效能感等；学生关于数学的信念主要是指学生个体对数学本身的信念，主要包括数学有用性、数学本质等；学生关于数学学习的信念主要是指学生个体在自身数学学习过程中的信念，主要包括数学学习方式、数学学习策略等，例如学生认为应采用自主探究的方式学习数学、记忆数学公式和步骤是学好数学的重要因素等；学生关于数学教学的信念主要是指学生个体在其接受数学教学过程中的信念，主要包括数学教学目的、数学教学方式等，例如学生认为数学教学就是让学生具备就业所需的数学知识和技能、老师应引导学生理解数学概念之间的关系等；学生关于环境的信念主要是指学生个体在其生活环境中对数学的信念，主要包括社会环境、家庭环境、学校环境、课堂环境等，例如学生认为社会环境中大多数人觉得数学成绩好的人聪明、家庭环境中父母将数学置于比其他学科重要的位置、学校环境中数学成绩是教师评判学生是否有潜力的首要指标、课堂环境中男生的数学知识接受能力优于女生等.

3 学生数学信念研究的必要性

作为当今国际数学教育界的研究热点，许多国家的数学课程标准中均有指向“数学信念”的要求，如日本中小学数学学习指导纲领均强调要让学生感受数学的乐趣、培养关于数学的积极态度[30]；荷兰数学课程标准重视学生“对数学的认识”与“自我认识”[31]；南非国家数学课程标准则将“对数学应用的批判性认识”、“处理数学情境的自信心”、“对数学的理解”、“对数学的热爱”作为数学教学的目的[32].韩国数学课程标准中，小学至中学的数学教育目标体系由“认知”与“情感”两大领域一以贯之[33-34]，而信念则是“认知”与“情感”的交集[3]；新加坡数学课程标准更是明确指出要关注“数学及其有用性的信念”[35].

此外，PISA、TIMSS、NAEP等国际大型测试项目也都在其背景问卷中设置了与数学信念相关的题目[36-38]，以House为主要代表的学者们利用测试数据对数学信念与数学成就之间的关系进行了一系列深入研究[39-45].结果表明，学生数学信念水平与数学学业成就有关，可以作为预测学生数学成绩的一项指标.Schoenfeld、Higgins、Schommer、蔡金法等人在对数学问题解决相关课题进行研究时也发现，数学信念对人的思维方式和行为方式均有着深远的影响[14-16,18,25,46-47].

综上可见，学生数学信念在其提出后的短短三十余年间已充分引起数学教育界的重视.许多在TIMSS、PISA数学测试中名列前茅的国家，都在其数学课程标准中对数学信念给予了关注.在关注学生外显化的数学学习成绩的同时，更要关注对学生数学思维产生重要影响、但却以内隐形式存在的数学信念，已是国际数学教育界的共识.

4 学生数学信念水平的测评工具

首先对学生数学信念进行测量的学者是数学信念的提出者Schoenfeld.基于自身在1983-1985年间的理论分析和定性调查[14-15,46]，Schoenfeld编制了一个包含70个封闭式问题和10个开放式问题的数学信念调查问卷(questionnaire)，用以研究学生(9-12年级)的数学信念对学生数学表现的影响.该问卷涉及4个方面，分别是：(1)学生对成败的归因；(2)对比英语和社会研究，对数学的观念(perceptions)；(3)数学作为学科的本质；(4)数学态度(attitude)[48].

Kloosterman等[49]受Schoenfeld研究的启发，开发了用以测量中学生及大学生的数学问题解决信念的印第安纳数学信念量表(Indiana Mathematics Belief Scales)，简称IMBS.该量表为李克特五点量表，包含以下 5个分量表：(1)我可以解决耗时的数学问题；(2)有一些应用题不能用简单的分步过程来解决；(3)理解概念在数学中是重要的；(4)应用题在数学中是重要的；(5)努力可以提高数学能力.除了IMBS之外，Kloosterman等还建议将Fennema-Sherman有用性量表[50]纳入其中，用以测量学生关于数学在日常生活中有用性的信念.经过统计检验，发现有用性量表与IMBS的大多数子量表相关，将其与IMBS结合后，6个分量表表示可接受的内部一致性(克伦巴赫系数0.54至0.86).如此，最终形成包含6个分量表(其中每个分量表包含6个题项)，共计36个题项的学生数学信念量表.

Op’t Eynde和 De Corte E[51]在其所提出的三因素(自我、对象、环境)数学信念系统的基础上，通过对365名初中生施测，经过因素分析，编制了学生数学相关信念问卷(Mathematics-Related Beliefs Questionnaire)，简称MRBQ.该问卷分为4个维度，分别是：(1)学生对其教师的角色与作用的信念；(2)学生对数学的重要性与胜任力的信念；(3)数学作为社会活动的信念；(4)数学作为一个卓越领域的信念.该问卷为李克特六点量表，共有44个题项(不含测谎题)，其中维度1包含16个题项，维度2包含13个题项，维度3包含9个题项，维度4包含6个题项.

国内研究者在参考国外经过验证的标准问卷的基础上，编制了一些适合中国学生数学学习特点的数学信念问卷.如代枫[52]编制的《中学生数学信念系统调查问卷》，该问卷包括数学信念、数学学习信念、数学教学信念、数学自我信念、学习环境信念5个维度；康怡[53]编制的《高中生数学信念系统调查问卷》，该问卷包含数学认识、数学教学评价、数学自我、数学情境4个维度；广西师范大学研究团队[54-57]编制的初中生和高中生数学认识信念的问卷等.此外还有基于数学信念与其他变量关系研究的问卷，如田静[58]编制的《初中生数学认识论信念问卷与数学学习策略问卷》.

综上，国外诸多学者在学生数学信念测量方面已做出开创性贡献.国内研究人员在此基础上，结合我国数学教育的实际情况，开发了一些适用于测量我国学生数学信念水平的测评工具，但目前已开发的工具仍不够全面，如具体针对高中生、初中生的数学信念水平测评工具有待进一步开发.而且，部分研究工具只是对学生数学信念系统中的部分范畴进行了考察.

5 学生数学信念的影响因素

对学生数学信念影响因素的研究非常有限，学界尚未对此引起高度重视.但也有学者零星地开展了一些颇具开创性的探索研究.如SA An等[59]以中国东南地区的35名小学六年级学生为被试，进行了一项探索性研究，将流行音乐与统计课程进行整合，发现对学生的数学信念有积极作用；Francisco[60]运用现象学方法，通过对5名高中二年级学生(17-18岁)进行纵向研究表明：某些课堂实践活动(如鼓励学生合作完成数学学习等)以及某些特定的数学教育经验可以对学生的数学信念产生积极影响.

有研究者把 80名五年级学生分为两组：创新学习环境组和传统学习环境组.在创新学习环境中，研究者从 3个方面改变课堂学习环境：改变学生和教师的角色；通过小组任务和讨论以及全班讨论促进和鼓励学生之间的社会认知互动；引入一系列的非常规问题，如现实问题和不可能解决的问题、模糊问题等.研究结果表明，该干预相对于传统教学对提高学生数学信念贡献很大，创新学习环境组的学生比传统学习环境组学生对在数学上付出的努力更多[9].

此外，有学者在比较教师数学信念与学生数学信念的差异[61]及研究教师数学信念与学生数学信念的关系[62]时发现，学生的数学信念与教师的数学信念存在相互影响，并且具有一定的相关性；在研究数学信念的男女差异时，发现生理因素、环境因素均对学生数学信念有一定程度上的影响，并且环境因素的影响要大于生理因素[63-64].

国内学者张晓贵指出，学生的数学教学信念是长期的数学课堂社会实践中产生和发展的，它和数学课堂的社会活动之间构成一种辨证关系[65].显然，这与上述研究结果是一致的.事实上，这也是Schoenfeld提出数学信念及其系统的初衷.

通过对已有研究进行分析，可以发现：学生个体的内部因素与社会环境的外部因素均对学生的数学信念有影响作用，但外部因素的影响要大于内部因素.在这些外部因素中，学生接触最多的是家庭、学校、教师等因素.教师作为课堂环境中的核心要素，对学生数学信念的影响最为显著.

6 评述

当前我国基础教育领域深化改革，对学科教学提出了新的要求.数学作为发展学生思维能力的关键学科，肩负在相应学段发展学生数学核心素养的重大使命.数学信念对人的思维方式和行为方式均有着深远的影响，有效提升学生的数学信念水平，无疑是发展学生数学核心素养的一大助力.目前为止，对学生数学信念的研究已取得了一定的成果，今后的研究需要关注以下几方面问题：

研究工具方面，西方学者开发了一些较为成熟的数学信念量表，但由于编制时间较早，加之许多题目不具我国本土特色，时代性与地域性的差异使其信效度大打折扣.目前国内已有一些测量学生数学信念的工具，但仍存在诸如局限于对某一类数学信念的测评、学段针对性不强、编制过程不够完善、信效度有待提升等不足.开发符合心理学测量标准，并且具有我国本土特色的学生数学信念研究工具，是未来全面、深入开展学生数学信念研究的前提.

研究对象方面，国外对学生数学信念的探讨起始于对大学生数学问题解决与数学学习的研究，聚焦高中生、初中生数学信念的研究仍在少数.国内对中学生数学信念的研究已较为可观，但具体针对高中生、初中生的研究仍较为欠缺.信念受已有教育经验的影响，一般而言，处于不同学段的学生，其数学信念水平会有较为明显的差异.对基础教育不同阶段学生的数学信念进行深入研究，是当前该领域亟需解决的问题.

研究内容方面，第一，已有研究多集中于数学信念与数学成绩之间的关系、学生数学信念水平的调查、学生数学信念系统对问题解决和数学成就的影响等方面.有关学生数学信念影响因素的研究仍处于探索阶段，对学生数学信念影响因素的系统研究尚未展开.对学生数学信念的影响因素进行更为全面和深入的研究，无疑对在教学中有效提升学生的数学信念水平有着巨大的帮助.第二，国内外目前均尚未有分别考察数学信念的认知、情感两个层面的研究.就重要性而言，数学情感信念不容忽视.而信念系统的准逻辑性、心理中心性、簇聚结构三大特征表明，学生的数学认知信念、数学情感信念可能存在矛盾.因此，分别考察认知、情感两个层面的数学信念，必然是未来研究的趋势.