浅谈第33届全国中学生物理竞赛复赛一道光学题

陆天明 孙韩超

(1. 南京师范大学附属中学江宁分校，江苏 南京 211102； 2. 南京大学物理学院，江苏 南京 210093)

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浅谈第33届全国中学生物理竞赛复赛一道光学题

陆天明1孙韩超2

(1. 南京师范大学附属中学江宁分校，江苏 南京 211102； 2. 南京大学物理学院，江苏 南京 210093)

第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试中光学题的常规解法较为繁琐, 如果能利用牛顿环的相关结论,则会显得简洁很多.

物理竞赛;光学；牛顿环

近年来, 全国中学生物理竞赛对波动光学的考查要求明显提高, 试题有较大的难度. 第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试的第1题就是一道波动光学问题, 学生反映问题比较复杂, 运算太繁, 很难得到结果.

原题.如图1, 上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1、R2,且两柱面外切;其剖面(平面)分别平行于各自的轴线,且相互平行;各自过切点的母线相互垂直. 取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点,下侧柱面过切点O的母线为X轴,上侧柱面过切点O的母线为Y轴.一束在真空中波长为λ的可见光沿Z轴负方向傍轴入射,分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉;借助于光学读数显微镜,逆着Z轴方向,可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影.R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙.空气折射率为n0=1.00.试推导第k级亮纹在X-Y平面的投影的曲线方程.

已知: a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧,折射率较大(小)的介质为光密(疏)介质;光线在光密(疏)介质的表面反射时,反射波存在(不存在)半波损失.任何情形下,折射波不存在半波损失.伴随半波损失将产生大小为π的相位突变.b. sinx≈x,当|x|≪1.

图1

从命题者所提供的参考答案来看,计算量确实很大,显得很繁琐.其实有比较简洁的解法,就是直接利用牛顿环的结论.

牛顿环又称“牛顿圈”，将一块曲率半径较大的平凸透镜放在一块玻璃平板上, 用单色光照射透镜与玻璃板, 就可以观察到一些明暗相间的同心圆环, 这种等厚干涉条纹就是牛顿环.

图2

实际上,牛顿环是空气膜的等厚干涉, 只要能计算出各处的空气膜厚度即可. 通常采用解析法来计算空气膜的厚度, 这里介绍更为方便直观的几何法. 如图2所示,作出透镜截面的完整圆, 表面上任一点P,∠O′PM=90°,由射影定理，有

所以P点对应的空气膜厚度为

上式中,R为透镜的曲率半径,设r为牛顿环半径,则有

如果能利用上述结论来处理上述光学问题, 则会简明很多. 图1所示的模型可以看成是牛顿环的变形, 关键是要计算空气膜厚度.

在图1的O-XY平面上靠近X轴和Y轴处任取一点(x,y),由前面对牛顿环的分析不难看到, 此点距上、下两侧柱面的距离为

所以,两柱面间的空气膜厚度为

进一步可得第k级亮纹的方程为

它们是椭圆亮环纹,两半轴长度分别为

图3

其实,这种以牛顿环为基本模型的问题,还可以进行多种拓展,例如，① 前述问题中下侧圆柱是下凹的,即R2<0,② 前述问题中把上面的圆柱体换为平凸透镜,并拉开一定距离,如图3所示,均可讨论第k级亮环的曲线方程, 讨论方法完全相同. 其中第②种情形曾作为第29届全国大学生物理竞赛的赛题.

1 陆天明.荣誉物理(热学、光学、近代物理部分)[M].南京:东南大学出版社,2013:170-171.

2 全国中学生物理竞赛委员会. 第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试卷, 2016.

3 北京物理学会. 第29届全国部分地区大学生物理竞赛试卷, 2012.

2016-09-19)