基于报童模型的汽车租赁企业最优汽车订购和服务定价策略

杨璐++经有国

[摘要]为了提高汽车租赁企业的效益，增强其竞争力，制定一个有效的汽车订购和服务定价策略成为汽车租赁业的重点研究问题。文章利用经典报童模型，假设市场对汽车租赁的随机需求是符合加性原理的，并且汽车租赁需求和租赁价格存在单调线性递减关系，建立了汽车租赁企业的联合订购和定价决策模型。当汽车租赁企业的汽车订购量和服务定价满足最优策略时，企业的总利润达到最大化。最后，通过算例分析验证了模型的有效性和可靠性。

[关键词]报童模型；汽车租赁；最优订购；服务定价

[DOI]1013939/jcnkizgsc201704074

1引言

在我国，汽车租赁业作为“朝阳产业”，近年来得到了快速发展，具有很大的发展空间和潜力。汽车租赁公司负责汽车的购买、保养和修理工作，为企业和个人提供了很多便利，这种模式越来越受到人们青睐。目前，我国已经拥有近500家汽车租赁企业，但是大多规模较小，市场份额也很少，具有较弱的风险抵御能力，并且尚未在全国铺开广泛的经营网络。因此，我国的汽车租赁业在很多方面还有待完善。为提高我国汽车租赁企业的效益，制定一个最优的汽车订购和服务定价策略显得尤为重要，可以减少库存成本和缺货损失，同时增加期望销售，最终获得最大利润。

本文从全新的视角，将报童模型应用到汽車服务领域，研究了在不确定需求下汽车租赁企业的联合最优订购和服务定价策略，来减少企业的缺货损失和剩余库存成本，来实现企业利润的最大化。

2问题描述与基本假设

一家汽车租赁企业一次性订购一定数量的汽车，来提供租赁服务。然后将汽车租赁给个人和企业消费者，从中收取一定的租赁费用作为收益，每辆汽车每天的租赁价格为p元。汽车在租赁服务过程中，存在维护费用和服务成本，以及燃油和汽车损耗等费用。每辆汽车可以使用n年，平均每年使用m天。在汽车使用寿命结束后，直接报废掉，不考虑残值。本文把汽车订购量和服务价格作为决策变量，利用报童模型，来研究汽车租赁企业的最优汽车订购和服务定价策略。

假设1：年需求函数是加性的，D（p，ε）=d（p）+ε，其中ε是一个随机变量，假设其分布函数为F（ε），密度函数为f（ε）。并且确定性需求d（p）和汽车租赁价格p存在线性单调递减关系，即d（p）=a-bp，a和b为大于零的常数。

假设2：每辆汽车的平均使用寿命周期为n年，平均每年可租用m天。

假设3：由于现实中存在通货膨胀，因此考虑现金折现，假设每年的现金折现率相等。

随机变量ε代表一年内汽车租赁的不确定需求，期望用μ表示，即E[ε]=μ；p是单位汽车每天的租赁价格；s是单位汽车每天的缺货惩罚，即单位机会成本；q是汽车租赁企业的新车订购量；c是单位新车的购买价格；w是单位汽车的终身维护费用；e是单位汽车租赁的服务成本和燃油及汽车损耗等费用；r代表每年的折现率；π表示汽车租赁企业每年的期望收益；为汽车租赁企业n年的总利润。

3模型建立与求解

我们用S（q）来表示汽车租赁企业的年期望销售，它为每年汽车租赁企业可提供的租赁量与市场需求的极小值，即S（q）=E[min（mq，D）]。因为汽车租赁企业总共订购q辆汽车，平均每辆汽车每年可租赁m天，所以企业可提供的年租赁量为mq。当市场需求D大于汽车租赁企业所能提供的租赁量mq时，期望销售为∫+∞mq-d（p）mqf（x）dx；当市场需求D小于汽车租赁企业所能提供的租赁量mq时，期望销售为∫mq-d（p）0[d（p）+x]f（x）dx。因此，两种情况合二为一，得到企业的年期望销售S（q）如式（1）所示。

由于汽车租赁企业在订购汽车时并不知道市场的汽车租赁需求，因此当市场对汽车的租赁需求大于汽车租赁企业能提供的汽车订购量时，就会出现缺货损失，带来一定的机会成本，我们用L（q）表示汽车租赁企业的缺货损失，如式（2）所示。

汽车在租赁过程中，会产生一定的汽车租赁管理费用、能耗费用，同时市场需求未知时会产生缺货损失，我们用π表示汽车租赁企业每年的期望租赁收益，为租赁总收入减去租赁管理费用、能耗费用和期望销售损失的差额，如式（3）所示：则汽车租赁企业的n年期望总利润为企业n年的期望租赁收益总和减去购买成本和维护费用的差额，如式（4）所示。

=ni=1πi-（c+w）q（4）

因为现实中存在一定的通货膨胀货币贬值问题，所以需要考虑现金折现问题。我们假设汽车租赁企业每年的期望收益相等，并且现金折现率也相等，折现率为r。因此π2=π11+r，π3=π21+r， …， πn=πn-11+r，形成等比数列。第一年的期望收益为π，即π=π1，代入公式（4），化简后得到企业的总利润函数如式（5）所示。

=（r+1）n-1r（r+1）n-1π-（c+w）q（5）

然后将（3）式代入（5）式，化简得到最终的企业总利润函数如（6）式所示。=（r+1）n-1r（r+1）n-1{（p+s-e）[mq-∫mq-d（p）0F（x）dx]-s[d（p）+μ]}-（c+w）q（6）

价格p和订购量q为汽车租赁企业总利润函数的决策变量，对总利润函数（6）式求关于p和q的一阶偏导数，得到（7）式和（8）式。

p=[（r+1）n-1][bs+mq-∫bp-a+mq0F（x）dx-bF（bp-a+mq）（p+s-e）]（r+1）n-1r（7）

q=[m-mF（bp-a+mq）][（r+1）n-1]（p+s-e）（r+1）n-1r-w-c（8）

根据海塞矩阵和二元函数凹凸性的判别原理，

令A=2p2=-[（r+1）n-1]（p+s-e）b2f（bp-a+mq）+2bF（bp-a+mq）r（r+1）n-1

B=2pq=-[（r+1）n-1][（p+s-e）bmf（bp-a+mq）+mF（bp-a+mq）-m]r（r+1）n-1

C=2q2=-[（r+1）n-1]（p+s-e）m2f（bp-a+mq）r（r+1）n-1

则AC-B2=σ3σ4m2σ1[2bσ1（p+s-e）-（σ2-1）2]r2

其中，σ1=f（bp-a+mq）， σ2=F（bp-a+mq）

σ3=（r+1）2-2n， σ4=[（r+1）n-1]2。

命题1：当满足2（x）f（x）<2b（p+s-e）时，利润函数有唯一极大值，企业有唯一最优订购和定价策略。

证明：由2（x）f（x）<2b（p+s-e）得，AC-B2>0。又因为A<0，所以是关于p和q的二元凹函数，因此有唯一极大值，企业可得到唯一最优订购和定价决策。

然后分别令（7）式、（8）式等于零，即总利润函数关于服务价格p和订购量q的一阶偏导分别等于零，可得到企业的最优订购量和服务价格，此时企业的总利润达到最大化，得到企业的最优决策。

4算例分析

下面将进一步通过数值分析来验证以上所提出模型的有效性：

有一家汽车租赁企业一次性订購一定数量的汽车，来提供汽车租赁服务，从中获取利润。假设每辆汽车的平均使用寿命周期n 为10年，平均每年可使用天数m为300天。单位汽车每天的服务成本和燃油损耗费用e为20元，单位汽车每天的缺货成本s为10元。平均每辆新车的购买成本c是8万元，单位汽车的终身维护费用w是2万元。同时考虑通货膨胀，假设每年的折现率r为3%。并且随机需求在（50000，100000）上服从均匀分布，确定性需求d（p）和价格p之间满足加性关系：d（p）=100000-170p。

将上述数据同时代入（7）式和（8）式，令总利润函数关于服务价格p和订购量q的一阶偏导分别等于零，得到汽车租赁企业的最优订购量q为277辆，最优服务价格p为671元/辆·天，然后根据企业的总利润函数式（6），得到此时企业的最大利润为4539013万元，是假定条件下企业的最优决策。

下面我们用MATLAB软件进行仿真模拟，验证最优模型的合理性。我们观察当其他参数不变，订购量q和服务价格p在最优决策周围变动时，企业总利润的变动。其他参数值不变，订购量q取250～400，服务价格p取550～700分别对应总利润的值如三维立体图所示。

如下图所示，企业的总利润值在订购量q取277，服务价格p取671时达到最高点，此时的结果正是模型得到的最优决策，企业的利润达到最大化。如果企业追求高利润，一味提高服务价格，会导致市场需求降低，从而总收益减少；如果企业追求高汽车租赁量，选择降低服务价格，同样会导致总收益的减少。只有选择最优汽车订购和服务定价决策，平衡汽车订购量和租赁价格的关系，才能使企业总收益达到最大化，促使企业在全球汽车租赁业的市场浪潮中立于不败之地。

5结论

作为我国的“朝阳产业”，汽车租赁业有不同订购量q和服务价格p下的利润值

很大的发展空间和潜力。同时在很多方面还有待完善，因此制定一个最优的汽车订购和服务定价策略对于提高企业的经济效益显得尤为重要。本文利用经典报童模型，假设市场对汽车租赁的随机需求是符合加性原理，并且汽车租赁需求和租赁价格存在线性单调递减关系，建立了汽车租赁企业的联合汽车订购和定价决策模型。当企业的总利润函数关于服务价格p和订购量q的一阶偏导分别等于零，可得到企业的最优订购量和服务价格，企业的总利润达到最大化。

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