向量组线性相关性的探讨

韦娜娜

【摘要】向量组的线性相关性是线性代数课程中的重要知识点，本文以下列三类题型对此知识点进行更深的探讨，并总结相应的做题技巧.

【关键词】向量组；线性相关；线性无关

【基金项目】2016年西安财经学院行知学院优秀课程建设项目，项目编号：16YXKC18.

向量组的线性相关性无论从概念还是从逻辑上说，是复杂抽象的，本文简单扼要给出判断向量组线性相关性的几种常用的方法并总结.

定理1：齐次线性方程组Am×nX=O有非零解当且仅当R（A）

定理2：向量组α1，α2，…，αs是线性相关的R（α1，α2，…，αs）

同理，向量组α1，α2，…，αs是线性无关的R（α1，α2，…，αs）=s|α1，α2，…，αs|≠0.

题型一设α1=1，2，1T，α2=1，1，1T，α3=（-3，-2，1）T，判断此向量組的线性相关性.

解法一

∵（α1，α2，α3）=11-321-2111r2-2r1r3-r111-30-14004，

∴R（α1，α2，α3）=3，

故此向量组线性无关.

解法二

∵|（α1，α2，α3）|=11-321-2111=（1-6-2）+（-3-2+2）=-10≠0，

∴此向量组线性无关.

题型二设向量组α1=1+λ11，α2=11+λ1，α3=111+λ的秩为2，则λ=（）.

解由题知

|（α1，α2，α3）|=1+λ1111+λ1111+λ

=（3+λ）11111+λ1111+λr2-r1r3-r1（3+λ）1110λ100λ

=（3+λ）λ2=0，

得λ1=0，λ2=-3，

代入λ1=0，得R（α1，α2，α3）=1，故舍去，从而解为-3.

题型三已知向量组α1，α2，α3，α4是线性无关的，试判断向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1的线性相关性.

解设存在一组数k1，k2，k3，k4，使得

k1（α1+α2）+k2（α2+α3）+k3（α3+α4）+k4（α4+α1）=0，（1）

即：（k1+k4）α1+（k1+k2）α2+（k2+k3）α3+（k3+k4）α4=0.

由于向量组α1，α2，α3，α4是线性无关的，则有下列的齐次线性方程组：

k1+k4=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0.（2）

∵系数矩阵

A=1001110001100011r4-r31001010-100110000，

∴R（A）=3.

从而（2）式有非零解，存在不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得（1）式成立.故向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1是线性相关的.

总结

判断向量组的线性相关性，可用本文中提到的思路来解决：矩阵的秩法[就是把向量按列排成矩阵，对此矩阵进行初等行变换，变成阶梯形矩阵，得出矩阵的秩（即向量组的秩）]、矩阵行列式法、定义法.而对于某一具体的矩阵来说，大家需要在平时的做题中，细心理解，慢慢总结，循序渐进，才能总结出做题相应的简便方法与技巧.

【参考文献】

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，1983.