欣赏绽放的函数之花，体验动态的数学之美

董正武

【摘要】在“幂函数”的教学中，当学生自主探究完y=x-1，y=x0，y=x，y=x2等幂函数的图像与性质时，有一个明显的感受是：幂函数的图像与指数函数、对数函数的图像相比情形较为复杂.本文借助幾何画板，动态地探究幂函数（其中α≠0，1）在第一象限的图像与性质，以飨读者.

【关键词】幂函数；几何画板；动态；图像与性质

一、利用几何画板画幂函数的图像

（1）在x轴的负半轴构造一点A，过A作x轴的垂线j.

（2）在j上构造一点B，选中点A，B，构造线段AB，隐藏垂线j.

（3）度量点B的纵坐标，将标签设置为α.

（4）单击【绘图】中的【绘制新函数】，键入y=xα.

二、幂函数之花即将绽放

（5）上下拖动点B，改变α的值，观察y=xα的图像变化情况如下.

α<0

0<α<1

α>1

（6）接画法步骤的第（5）步，选中点B，单击【编辑】中的【操作类按钮】，选择动画.

（7）选中点B及图像，单击【构造】中的【轨迹】，观察幂函数图像的动态变化.

α<0

0<α<1

α>1

三、幂函数的性质

（一）相同点：过定点（1，1）.

（二）不同点：

（1）单调性：当α<0时，在区间（0，+∞）上单调递减，当α>0时，在区间（0，+∞）上单调递增.

（2）函数值变化：当α<0时，若x∈（0，1），则y∈（1，+∞）；若x∈（1，+∞），则y∈（0，1）.当α>0时，若x∈（0，1），则y∈（0，1）；若x∈（1，+∞），则y∈（1，+∞）.

（3）图像形态特征：当0<α<1时，若x∈（0，1），则图像在y=x上方（称为上凸）；若x∈（1，+∞），则图像在y=x下方.图像先陡峭、后平缓，增长速率是先快后慢.当α>1时，若x∈（0，1），则图像在y=x下方（称为下凸）；若x∈（1，+∞），则图像在y=x上方.图像先平缓、后陡峭，增长速率是先慢后快.

（三）图像随α变化情况：当α<0时，随着α逐渐增大，在（0，1）上的图像越来越靠近y轴，在（1，+∞）上的图像越来越远离x轴；如果α→0，那么图像趋近于y=1.

当0<α<1时，随着α逐渐增大，在（0，1）上的图像突出y=x的部分越来越少；如果α→1，那么图像趋近于y=x.

当α>1时，随着α逐渐增大，在（0，1）上的图像突出y=x的部分越来越多.

四、授课感受

波利亚说道：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则模式和定律.”当我们观察幂函数图像的变化时，我们就会体验到无穷的动态之美，体会“数与形”的高度统一，让我们用“运动”的观点研究数学吧！

【参考文献】

[1]陶维林.几何画板课件制作教程[M].北京：人民教育出版社，2005.