导数在不等式证明中的应用

丁江

【摘要】证明不等式有很多种灵活的方法，但对于一些结构特殊或较为复杂的不等式，直接利用比较、分析等传统的证明方法，往往难以奏效，新课程中导数的引入给不等式的证明带来了方便.

【关键词】不等式证明；函数值；导数；证明方法

导数最早是在研究极值的问题中提出来的，导数是学习微积分的知识基础，是进行函数研究、解决实际应用问题的关键突破点.无论是初等数学还是高等数学，导数研究的内容主要集中在以下三个方面，即：利用导数研究函数的单调性、寻找函数的极值以及导数对现实问题解决的具体应用.

用导数证明不等式的关键在于函数模型的构建，而函数模型构建的关键是怎样根据题目要求构建一个可导函数，最后，根据可导函数的求导方法把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值的问题.本文针对函数的单调性、函数的极值和具体的不等式证明方法进行了详细的案例研究，文章主要对三种常用方法进行解答，旨在探寻系统的题目解答体系，增强学生的问题理解能力和开创性探索思维.

一、构造法证明函数不等式

对于构造函数不等式的方法具体可以分为以下三大步骤：

1.对于左右两边结构相同的不等式或者是可变形化简为两边结构相同的不等式，构造函数f（x），使其成为f（a）>f（b）的形式.

2.对形如f（x）>g（x）的结构形式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）.

3.通过求导找出单调性和最值进行具体的证明.

例1已知函数f（x）=ln（x+1）-x，证明：当x>-1时，函数式1-1x+1≤ln（x+1）≤x恒成立.

分析本题是一个双边不等式，右边的函数值题目中已经给出，重点在于左边函数的证明，对于这种直接求导相对简单的不等式形式，我们可以利用直接构造的方法进行题目的求解.左边可以构造一个新的函数表达式，形如g（x）=ln（x+1）-1+1x+1，然后进行求导证明，发现函数的单调性及单调区间或者找出函数的极值即可进行计算.

证明∵f′（x）=1x+1-1，

∴当-10；当x>0时，f′（x）<0，

即函数在区间（-1，0）上为增函数；在区间（0，+∞）上为减函数，

∴x=0时，函数f（x）在区间（-1，+∞）上取最大值.

即f（x）max=f（0）=0，

所以，当x>-1时，

f（x）=ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x.

对于函数左边的求证：令g（x）=ln（x+1）-1+1x+1，则g′（x）=1x+11-1x+1.

同理可得，当-1

当x>0时，g′（x）>0，

故函数在区间（-1，0）上为减函数；在区间（0，+∞）上为增函数，

∴x=0时，函数f（x）在区间（-1，+∞）上取最小值.

即g（x）min=g（0）=0.

所以，当x>-1时，g（x）≥0，

即ln（x+1）-1+1x+1≥0，函数1-1x+1≤ln（x+1），

综上所述，当x>-1时，1-1x+1≤ln（x+1）≤x恒成立.

二、作差法证明函数不等式

作差法是证明不等式的一种常用方法，其操作简单，应用难度小且学生容易掌握.一般来说，对于形如f（x）>g（x）或f（x）0或Z（x）<0即可.下面文章将通过一个具体的例题对此方法进行详细的解读.

例2当x>0时，证明x-x22

分析学生拿到题目后应该首先分析本题的组成结构，本题符合差数形式f（x）

证明令Z（x）=x-x22-ln（x+1）<0（x>0）.

将函数求导得Z′（x）=-x2x+1.

∵x>0，∴Z′（x）<0，

所以不等式x-x22

三、换元后求导再证明不等式

换元思想是我们在中学阶段接触到的最重要的数学解题思想，换元法可以应用于数学学习的始终，并且在三角函数、函数、数列、不等式等解答过程中都得到了具体的应用.换元法又称为等量替换法，其实质就是对元的等量转换，文章将从一个具体的例题对解不等式的换元法进行详细的解读.

例3已知f（x2+1）=loga（4-（x2）2），则f（x）的值域为多少？

分析对于一般的函数求值域是比较简单的事情，但是本题的函数结构形式复杂，不能直接求出值域，因此，需要借助换元法减少变量，从而得出函数的值域.

解令t=x2+1，则x2=t-1，所以f（t）=loga[4-（t-1）2]，

因为t≥1，4-（t-1）2>0，所以，1≤t<3，

所以f（x）的定义域为[1，3），

所以f（x）的值域为f（x）≤loga4.

以上便是对构造法、作差法和换元法三种基本解题方法的基本阐述，众所周知，导数是中学数学的重要部分，利用导数的单调性以及极值证明不等式是解决不等式问题的一个有效办法，它可以使许多复杂的不等式问题简单化，从而更有利于学生的学习和掌握.

【参考文献】

[1]周晓农.导数在不等式证明中的应用[J].金筑大學学报，2000（3）：107-110.

[2]曾捷.数学分析同步辅导及习题全解[M].北京：中国矿业大学出版社，2006.