高考数学一题多解例题解析

马宝贵+常艳艳

在2016年的高考数学试题中突出了对创新应用能力的考查，对学生的逻辑思维能力以及实践能力进行了深入的考查，体现出了数学本身所具备的理性价值和科学价值，重视的是对数学通性以及通法的考查.为了能够对2016年高考数学试题有更好的了解，并对一题多解有更加深刻的认识，下面就以2016年高考数学题为例探讨一题多解.

例（2016年全国高考理科Ⅰ卷第18题）如图1，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

（1）证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）求二面角E-BC-A的余弦值.

原题中的第一个小题很容易进行证明，在这里就不再进行论述.对于第二个小题，有的考生认为点C难以确定，之所以会这样，是因为他们没有对题目中的“五面体”看清，也就是C、D、E、F是共面的，A、B、C、D共面，那么此时就可以根据AB∥EF来推导出AB与平面CDEF平行，接着就可以根据线面平行的相关性质来推导出AB∥DC，然后推导出CD∥EF，并且还可以证明出∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，那么∠CEF=60°，因此，C点的位置是可以确定的.

接下来主要就第二小题的解法进行论述：

解法1

由（1）可知∠DFE=∠CEF=60°，因为AB∥EF，AB平面CDEF，EF平面CDEF，所以EF∥平面ABCD，AB平面ABCD，因为面ABCD∩面EFDC=CD，所以AB∥CD，所以CD∥EF，所以四边形EFDC为等腰梯形.

如图2所示，以E为原点，EF为x轴，EB为y轴，建立坐标系，设FD=1，E（0，0，0），B（0，2，0），C12，032，A（2，2，0），EB=（0，2，0），BC=12，-2，32，AB=（-2，0，0），假设面BEC的法向量为m=（x1，y1，z1）.

则m·EB=0，m·BC=0， 也就是2y1=0，12x1-2y1+32z1=0.

取x1=3，y1=0，z1=-1，则m=（3，0，-1），假设面ABC的法向量为n=（x2，y2，z2），则

n·AB=0，n·BC=0， 也就是2x2=0，12x2-2y2+32z2=0.

取x2=0，y2=3，z2=4，n=（0，3，4），假设二面角E-BC-A的大小为θ.

cosθ=m·n|m||n|=-43+1·3+16=-21919.

点评：向量法以其操作简单的特点而被很多的学生采用，但是由于向量法有一个细节需要细心加以处理，即如何确定法向量的方向，如何让两个法向量之间的夹角能够与二面角的平面角相等？其方法也十分简单，在两个半平面上各取一点来构造一个向量，使这个向量的内积与两个法向量内积同号就可以了.

解法2如图3所示，作AG⊥BC，G点为垂足；作EH⊥BC，H点为垂足，则GA，HE之间的夹角也就是为二面角E-BC-A的平面角，假设GB=λBC，那即可得出GA=GB+BA=λBC+BA，因为GA⊥BC，所以GA·BC=0.

同理，λ（BC）2+BA·BC=0，

也就是5λ+1=0，因此，λ=-15，

GA=-15BC+BA=-1512，-2，32+（2，0，0）=1910，35，-310，

同理可以得出HE=-25，-25，-235，

cosθ=GA·HE|GA||HE|=-4513810·205=-21919.

点评：选择棱法向量法的好处就在于不用担心两个法向量之间的夹角与二面角之间的大小不一样，但是使用该种方法的前提就是要保证两个棱法向量的起點要选择棱上的垂足点.

反思：思路决定出路，高中教师研究高考试题是必须做的功课之一，作为一名高中数学教师，应该潜心研究一些典型的高考试题，不仅能够帮助教师从整体上把握好教材，还能够让数学课堂更加贴近高考.