高职高考中数列求和的几种方法和技巧

陈伟

【摘要】据统计，2006年以来职业院校累计为中国输送了近8000万名毕业生，占新增就业人口的60%，成为中国中高级技术技能人才的主要来源.鲁昕表示，职业教育已成为中国发展实体经济、转变经济发展方式、推进产业结构调整和新型城镇化建设的重要支撑.要在全社会倡导尊重职业人才的价值观，营造“崇尚一技之长、不唯学历凭能力”“行行出状元”的浓厚氛围.数列的应用在高职高考中占了解答题的25%～28%的分值.数列的求和是数列大题必考题目.要想更好地完成数列的求和问题，必须了解在广东省高职高考数学试题中数列求和大致的几种题型，掌握解题的方法和技巧，做到触类旁通，胸有成竹.以下是笔者对近几年广东省高职高考数学试题中有关数列求和问题的归纳和小结.

【关键词】职业教育；高职高考；数列求和

一、直接利用等差数列或等比数列的求和公式求和

例1中将9写成（10-1），99写成（100-1），…，99…9写成（10n-1），不难看出10，100，…，10n成等比数列，利用等比数列的前n项和公式Sn=a1（1-qn）1-q求和.

相关高职高考题：

（2014年）已知数列{an}满足an+1=2+an（n∈N*），且a1=1.

例2中数列经过拆分得（1+2+3+…+n）和12+14+18+…+12n 两个部分，前者是等差数列求和，后者是等比数列求和.

相关高职高考题：

（2012年）已知函数f（x）=ax+b，满足f（0）=1，f（1）=2.

（1）求a和b的值；

（2）若数列{an}满足an+1=3f（an）-1（n∈N），且a1=1，求数列{an}的通项公式；

（3）若cn=anan+1（n∈N），求数列{cn}的前n项和Sn.

考题解析：问题（3）列出{Cn}的前几项，发现可以才分成（1+1+1+…1）和12+12×3+12×32+…+12×3n-1，后者为公比为13的等比数列，利用等比数列求和公式求之.

三、错位相减法求和

错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求數列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.

例3求数列22，422，623，…，2n2n，…前n项的和.

解Sn=22+422+623+…+2n2n，①

12Sn=222+423+…+2n2n+1.②

（设置错位）

①-②得：1-12Sn=22+222+223+…+22n-2n2n+1（错位相减）

=2-12n-1-2n2n+1，

∴Sn=4-n+22n-1.

例3中②式为设置的错位，在①式两边同时乘分母的公比即可，最后两式相减，其中22+222+223+…+22n为等比数列前n项和，解之.

相关高职高考题：

（2009年）已知数列{an}满足a1=b（b是常数），an=2an-1-2n-1（n=2，3，…）.

证明（1）数列an2n是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）求数列{an}的前n项和Tn.

解（1）∵an+12n+1-an2n=-12，且a121=b2，

纵观近十年广东高职高考题，裂项法求和主要用于an=nn（n+1）和an=nn+n+1这两种情况.

相关高职高考题：

（2008年）设f（x）=2xx+2（x≠-2）.令a1=1，an+1=f（an），又bn=anan+1，n∈N*.

（1）证明1an是等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）求数列{bn}的前n项和.

解（1）（2）略.

考题解析：数列的通项为f（n）=c（n+a）（n+b）或f（n）=|b-a|n+a+n+b时一般都可以采用裂项法进行求和.

结尾语

广东省高职高考试题中数列的求和题型基本为以上几种，笔者归纳于此，希望能为考生提供一定的帮助.

【参考文献】

[1]周朝阳，刘意.高等职业院校招生考试复习教材·数学[M].北京：中国原子能出版社，2012.

[2]2008年—2015年广东省高职高考数学试卷[Z].