关于x2+px+q=0的直观诠释

李中文

几何直观是领悟数学最积极而有效的途径之一.为了更深刻地把握一元二次方程，本文拟从几何角度对x2+px+q=0（p≠0，p，q为常数，以下略）的代数内涵作一直观尝试，恳与同行商榷.

一、x2+px+q=0的根的模型

已知，如图1，AB为⊙O的直径，直线m交⊙O于M、N，AC⊥m于C，BD⊥m于D，则

① AC·BD=CN·DN（由△ACN∽△NDB可得）；

② AC·BD=CM·DM（由△ACM∽△MDB可得）；

③ CM=DN（由平行线等分线段定理和垂径定理可得）.

由①得AC·BD=CN（CD-CN），

即CN2-CD·CN+AC·BD=0.

由②得AC·BD=CM（CD-CM），

即CM2-CD·CM+AC·BD=0.

不妨設p=-CD，q=AC·BD，

则由一元二次方程根的意义可知，CN、CM就是方程x2+px+q=0的两根的直观模型.

二、x2+px+q=0的根的判别式模型

如图1，过O点作OE⊥m于E，过A作AF⊥DB于F，显然有BD+AC=2OE（OE为梯形ACDB的中位线），AF=CD（夹在平行线间的平行线段相等），BF=BD-AC，

AB2=AF2+BF2=CD2+（BD-AC）2，

∴AB2-4OE2=CD2+（BD-AC）2-（BD+AC）2=（-CD）2-4AC·BD=p2-4q（前设p=-CDq=AC·BD）.

我们来探求一下AB2-4OE2的符号与x2+px+q=0的根的情况是否存在内在的必然联系：

1.当AB2-4OE2>0即AB>2OE时，直线m与⊙O相交→方程x2+px+q=0有两个根CM，CN，且CM≠CN，如图1.

2.当AB2-4OE2=0即AB=2OE时，直线m与⊙O相切→M，N重合→x2+px+q=0有两个根CM，CN，且CM=CN，如图2.

3.当AB2-4OE2<0即AB<2OE时，直线m与⊙O相离，如图3，将方程x2+px+q=0变形为x（x+p）=-q.

即xAC=BDCD-x（前设p=-CD，q=AC·BD）.

假设此比例式成立，由几何意义知x须满足0

如图3，不妨在CD上取点H，使CH=x，连接AH交⊙O于G，连接BH、BG，则Rt△ACH∽Rt△HDB（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似），由此易得∠AHC=∠HBD.∵∠HBD+∠BHD=90°，又∵AB为⊙O的直径，∴H必在⊙O上，这和直线m与⊙O相离相矛盾，故假设不成立，即无论x取何实数时方程x2+px+q=0均无实根.

鉴于AB2-4OE2正好等价于p2-4q，无疑将其作为x2+px+q=0的根判别式（Δ=p2-4q）的直观模型，即Δ=AB2-4OE2.

三、x2+px+q=0的求根公式模型

这是从纯几何角度推导出的关于x2+px+q=0的根与系数的关系，即韦达定理，我们不妨把它叫作x2+px+q=0的韦达定理模型.

至此，我们已从根的意义、根的判别式、求根公式、根与系数的关系等四个方面把一元二次方程的代数内涵建构于几何图形各元素的有机联系之中.笔者不揣拙浅，斗胆将以上诸点锁定为一元二次方程x2+px+q=0的直观诠释，以就教于方家.

【参考文献】

[1]梁绍鸿.初等数学复习及研究（平面几何）[M].北京：人民教育出版社，1978：405-406.