半群理论在证明带时滞Euler梁方程适定性中应用

武 继 龙

(天津大学 理学院，天津 300350)

半群理论在证明带时滞Euler梁方程适定性中应用

武 继 龙

(天津大学 理学院，天津 300350)

在研究带有时滞问题的Euler梁方程时，要在原有的方程基础上首先要讨论Euler梁方程的适定性，用半群中的一些理论证明出Cauchy初值问题的适定性的充分必要条件，将带有时滞的Euler梁方程适定性问题转化为Cauchy初值问题的适定性问题，利用耗散算子的性质来讨论在什么样的时滞条件下，Euler梁方程是适定的.

耗散算子；Cauchy初值适定性；半群理论；Euler梁方程

1 Cauchy初值问题适定性充要条件

定义1 Cauchy初值问题是指形如下的方程初值问题：

(1)

定义2若u(t)具有下面的性质：1)对任意的连续t≥0,u(t)连续； 2)对t>0,u(t)∈D(A)且连续可微的；3)满足方程(1)和初始条件.

函数u(t)为方程(1)的古典解.

定义4 设X是Banach空间，{T(t),t≥0} 是X→X的有界线性算子族且满足T(0)=I(I是X上的恒等算子)，T(s+t)=T(t)T(s) 对一切s≥0成立.则称{T(t),t≥0)是X上的有界线性算子半群.

定义5 设X是Banach空间，X上的有界线性算子半群{T(t),t≥0} 如果满足

对一切x∈X成立则称此半群为C0半群.

定义6 设{T(t),t≥0)是X上的有界线性算子半群，若定义在X中的线性算子A满足

则称A是半群{T(t),t≥0}的母元.

定理2[2]{T(t),t≥0}是Banach空间X上的半群，A为母元，w0(T)为增长阶若λ∈C

且

Rλ>w0(t), 则λ∈ρ(A),

即

{λ∈C|Rλ>w0(t)}⊂ρ(A)

定理3设{T(t),t≥0 是Banach空间X上的C0半群，A是其母元，则x∈D(A)T(t)x∈D(A)且T(t)具有连续可微性.

从而，对x∈D(A)式

证明：x∈D(A),t,h> 0由于

所以

T(t)x∈D(A)

AT(t)x=T(t)Ax

当t，h> 0时

综上所述

将上式从s到t积分得

证毕

定理4 设X是Banach空间，{T(t),t≥0}是X上的一个C0半群，存在β>0，使得当0≤t≤β时，‖T(tn)‖一致有界.

证毕

定理5 设A是Banach空间X上的C0半群{T(t),t≥0}的母元，则A是闭稠定算子.

证明：对于A是稠定算子已经给出现在只需要证明A是闭算子即可，设xn∈D(A)当n→∞时有xn→x,Axn→Ax,Ax=y由定理2可得

因为T(s)为有界线性算子，由定理4关于s在 [0 ，t]上一致有界，Axn为收敛列也是有界的，所以‖T(s)Axn‖在[0，t] 上也是一致有界的，存在M> 0，使得‖T(s)Axn‖≤M,S∈[0,t]，n≥1根据收敛控制定理得

也就是

得到

x∈D(A)，Ax=y，由闭算子定义可知A是闭算子.

综上得A是闭稠定线性算子.证毕

定理6 Cauchy初值问题

是适定的，A是闭稠定算子且ρ(A)=φ的充分必要条件是A是Banach空间X上的 半群的生成母元.

证明：首先证明定理的充分性，由定理2可知对x∈D(A) ，T(t)x是关于t的连续可微函数，再由定义2可知T(t)x是Cauchy初值问题的古典解，这就证明了Cauchy初值问题的解的存在性.又因为T(t)是有界的，即存在M>0，使得‖T(t)‖≤M当x,y∈D(A)且‖x-y‖→0；时有‖T(t)x-(t)y‖≤M‖x-y‖→0，根据定义3可知T(t)x是对初值具有连续依赖性的.综上可知Cauchy 初值问题是适定的，其解为T(t)x，根据定理3可知ρ(A)非空，由定理4得A是闭稠定算子.充分条件证毕.

2 带时滞的欧拉梁方程适定性问题的证明

定义7设X是Banach空间，A：D(A)⊂X→X是一个线性算子，如果对每个x∈D(A)都存在一个y∈X*使得R(Ax,y)≤0，则称A为耗散算子.

定理7设A是Banach空间X上的闭稠定耗散算子，且0∈ρ(A)则A是X上某C0压缩半群的母元[4].

带时滞的欧拉梁方程的基本形式如下

(2)

其中α>0,β∈.

把公式z(x,t)=wt(1,t-xτ),x∈(0,1)带入方程(2)中则变为以下形式[5]

9年前，在重庆市巫溪县，龚正银的爸爸患病住了院，尽管花光了家里的所有积蓄为他治病，但最后他还是去世了。2年后，龚正银的哥哥不幸溺水身亡，家里只剩下龚正银和妈妈俩人相依为命。那年，龚正银14岁，家中接二连三遭遇变故，他不得不辍学。为了生计，妈妈准备带着他去合肥打工，但恰巧当时妈妈的手机欠费停机，不方便与合肥的亲戚联系。龚正银对妈妈说：“我试一试去移动营业厅赊话费。”说完，龚正银就出门了。

(3)

其中<α>β∈

所以可以将方程组(3)改写成Cauchy初值问题形式如下

(4)

其中Y(t)和Y(0)表示如下

Y(t)=(w(x,t),wt(x,t),z(x,t)),

Y(0)=(w0(x),w1(x),f(-xτ))

只需要证明方程(4)是适定的即可至方程组(1)是适定的.

(5)

方程组(5)的边界条件为[6]

经过计算得方程组(5)的解为

其中

从而可知算子A是单射，又因为算子A是在空间H中的闭稠定线性算子[7]，所以可知算子A是双射[8]，从而可知0∈ρ(A).

第二步证明A是耗散算子，设任意的η=(f,g,h)∈D(A)，可以得到

根据上述结果可得当α≥|β|时(Aη,η)H≤0 由定义(2.1)得A是耗散算子.

由于0∈ρ(A) 且A是耗散算子，由定理7可知A是X上某C0压缩半群的母元.

再根据第一部分Cauchy 初值问题适定的充要条件定理6可知方程组(3)是适定的，即当α≥|β|带时滞的欧拉梁方程(2)是有解的.

证毕

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Application of semigroup theory in proving feasibility of Euler-beam

WU Ji-long

(School of Science, Tianjin University, Tianjin 300350, China)

The feasibility of Euler-beam is necessary to study Euler-beam. This paper used semigroup theory to prove the feasibility of Cauchy initial value problems in sufficient and necessary conditions. And transfered the problem of Euler-beam to the problem of Cauchy. And used the dissipative operator theory to discuss the feasibility of time delay Euler-beam.

dissipative operator;initial value problems of Cauchy equations; semigroup theory; Euler-beam equation

2016-05-14.

国家自然科学基金项目(61174080)

武继龙(1991-),男，硕士，研究方向：运筹学与控制论.

O152

A

1672-0946(2017)02-0214-04