随机环境下有最低收益保障的DC型养老金问题

郑小珊，樊顺厚

(天津工业大学 理学院，天津 300387)

随机环境下有最低收益保障的DC型养老金问题

郑小珊，樊顺厚

(天津工业大学 理学院，天津 300387)

对随机利率和随机波动率模型下带有最低收益保障的DC型养老金投资问题进行了研究，其中假设利率服从仿射利率模型，股票价格服从Heston随机波动率模型.养老金被允许投资于三种资产：一种无风险资产，一种可转换债券，一种风险资产.运用动态规划原理得到了指数效用函数下最优投资策略的显性解.给出数值算例分析了市场参数对最优投资策略的影响.

DC型养老金；仿射利率模型；Heston模型；最优投资策略；指数效用

养老金制度是为社会成员提供养老金的社会化制度，分为两种基本类型:确定给付(DB)型和确定缴费(DC)型.对于DB型养老金，养老金受益额由基金管理者提前确定，为维持养老金平衡，缴费率可随时调整，相关金融风险由基金管理者承担.而对于DC型养老金，缴费率是提前确定的，给付额的多少依赖于养老金的投资回报率，相关的金融风险由投保人承担.随着人口演化以及资本市场的发展，DC型老金在社会保障体系中扮演越来越重要的角色.由于DC型养老金计划投保人必须面临市场风险，未来的退休给付无法得到保障，因此带有最低收益保障的DC型养老金计划已经引起很多研究者的关注.

Boulier等人[1]研究了Vasicek利率下带有最低收益保障的DC型养老金，但是Vasicek利率模型的瞬时波动率是常数，因此利率可能变成负值，这与实际投资环境不符.Deelstra等人[2]考虑了更为一般的随机缴费过程，并假设利率服从仿射利率结构(包括CIR模型和Vasicek模型)，运用鞅方法得到了幂效用下最优投资策略的显性解.张初兵等人[3]研究了仿射利率模型下DC型养老金的最优投资,运用HJB方程和Legendre变换-对偶理论，分别得到了幂效用和指数效用下最优投资策略的显性解.殷俊和李媛媛[4]研究了CIR利率模型和通货膨胀下的DC型养老金计划的最优资产配置策略.然而，上述文献都仅仅对随机利率模型下的DC型养老金问题进行了研究，而没有考虑到股票价格的随机波动率问题.

1975年，Cox[5]首次提出了CEV模型，该模型是几何布朗运动(GBM)的一个扩展，后经实证检验能够很好的解释波动率微笑和聚集现象.今年来，一些学者开始关注CEV模型下的养老金投资问题.Xiao[6]研究了CEV模型下退休前后的养老金最优投资问题.Gao[7]利用随机控制和变量分离技术得到了幂效用和指数效用下最优投资策略的显性解.张初兵等人[8]研究了CEV模型下带有随机工资的DC型养老金的最优投资.但CEV的回报率仍为常数，波动率并不是完全随机的，而是价格依赖型的波动率模型，其波动率与股票价格完全相关，对克服波动率微笑效果并不理想.Heston模型是随机波动率模型的一种，是均值回复平方根的过程，并且其回报率和波动率都是随机的.因此，Heston随机波动率模型优于GBM模型，并克服了CEV模型回报率为常数的不足之处.林祥和杨益非[9]假定风险资产价格服从Heston模型，以最大化期望指数效用为目标得到了DC型养老金计划的最优投资策略.张初兵等人[10]对文献[9]重新进行了研究，得到了幂效用下最优投资策略的显性解.肖建武等人[11]假设股票价格服从Heston随机波动率模型，运用最优控制理论和Legendre变换得到了对数效用下风险资产比例和缴费水平的显性解.这些文献都是在Heston随机波动率模型或者CEV模型下对养老基金投资问题进行的研究，而没有考虑随机利率的影响.

实际投资环境中，利率并不是一成不变的，而是随机变化的.考虑到养老基金的投资期限比较长，其资产价值受利率的影响比较大.因此，在养老金投资问题中应综合考虑随机利率和随机波动率的影响.目前，已有一些学者开始关注随机利率与随机波动率模型下的养老金投资问题.Grzelak和Oosterlee[12]研究了带有随机利率的随机波动率模型下的投资组合选择问题.Guan和Liang[13]对随机利率和随机波动率模型下带有最低收益保障的DC型养老金问题进行了研究，通过构建辅助问题得到了幂效用函数下的最优投资策略.由于基金管理人对风险的厌恶程度不同，因而可用不同的效用函数来描述.指数效用属于常系数绝对风险厌恶效用函数，和幂效用完全不同.

本文在Guan和Liang[13]模型的基础上进一步研究指数效用函数下养老基金的最优投资策略问题.应用动态规划原理和HJB方程得到了指数效用函数下最优投资策略的显性表达式.最后，给出数值算例分析了市场参数对最优投资策略的影响.

1 数学模型

设|(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是完备概率空间，Ω是真实空间，P是概率测度，F={Ft}t∈[0,T]是定义在该空间的右连续的σ代数域流.养老金开始时间是0，退休时间是T.

1.1 金融市场

金融市场由四种资产组成，一种无风险资产(即现金)，一种零息债卷，一种可转换债券，一种风险资产(即股票).

定义t时刻的无风险资产(即现金)的价格为S0(t)，则S0(t)满足下面的微分方程

(1)

其中:r(t)表示短期利率，假定短期利率由下面的随机微分方程描述[13]：

r(0)=r0

， (2)

其中:参数a，b，k1，k2都是正常数wr(t)，是定义在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的标准布朗运动.

另一种资产是到期日为s的零息债券，其时刻t的价格记为B(t,s)，0≤t≤s，则B(t,s)满足下面的随机微分方程[13]：

(3)

其中:

考虑到市场中某个时间可能不存在可交易的零息债券，因此我们引入一种可转换债券，可以用可转换债券和无风险资产来复制零息债券.

假设可转换债券BK(t)满足下面的随机微分方程[13]：

(4)

则可转换债券和零息债券之间的关系如下：

第三种资产是股票，它和利率风险有关，其t时刻的价格记为S(t)，则S(t)满足下面的随机微分方程[13]：

(5)

1.2 最低收益保障下的DC型养老金问题

DC型养老金计划管理问题中，缴费是非常重要的，养老金计划持有人在退休之前把他们薪水的一部分上交.在此模型中，本文假定缴费率C(t)是一个随机过程：

(6)

其中:u、σC1、σC2、λr，v都是正常数.

假设养老金的最低收益为g(t)，t∈[T,T′]，T是退休时间，T′是死亡时间，是一个随机过程.则收益保障G(T)满足式(7)：

(7)

1.3 最优化问题

假定市场中没有交易费用或税收，卖空是允许的，则养老金的财富过程X(t)可表示如下：

(8)

其中:u0(t)=1-uB(t)-uS(t)，uB(t)、uS(t)分别是投资在现金，可转换债券和股票上的财富比例.

将式(1)，(3)，和(4)带入式(8)，得到

(9)

定义1：记u(t)=(uB(t),uS(t))，如果u(t)满足下面三个条件，则称u(t)为容许策略：

(i) u(t)是在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)渐近可测的；

(iii) 式(9)对初始数据(t0,r0,L0,x0)∈[0,T]×(0,+∞)3有唯一强解.

假设Π表示所有容许策略u(t)所形成的集合，基金持有者的目标是寻找一种最优容许策略u(t)使得终端财富X(T)的期望效用最大化，并且超过最低收益保障，因此最优化问题如下：

(10)

其中:U(x)是严格凹的效用函数，满足u′(x)>0，u″(x)<0.

本文假设养老基金持有人对风险的厌恶程度满足指数效用函数：

其中:q为风险厌恶因子.

2 最优投资策略

最优化问题(10)不是一个单一的投资问题因此很难解出.它包含了由缴费带来的连续的资金流以及考虑最低保障.在这一节中，首先引入辅助过程把问题(10)变为一个单一的投资问题.

2.1 构建辅助问题

受Han和Hung研究成果[14]的启发，我们通过以下步骤复制连续的现金流C(t)dt,首先必须给资产D(t,s)s≥t定价，到期s的最终收益为C(s).则D(t,s)满足下面的随机微分方程[13]：

(11)

(12)

命题1[13]：F(t,T)和连续缴费C(t)可以由市场中的现金，债券，股票复制得到，满足下面等式：

(13)

通过比较式(12)和(4)、(5)的系数证明很容易得到.

因为最低收益保障只和利率风险相关，因此，在t时刻最低收益保障G(T)的现值，概率测度由利率风险的市场价格决定.因此，在t≤T时G(T)的价值由式(14)给出：

(14)

G(t)满足下面的随机微分方程：

从上式可以看出最低收益保障G(t)只和利率风险相关，因为在我们的模型中，唯一的风险市场价格与利率风险相关，因此在市场中G(t)可以由现金S0(t)和债券BK(t)复制：

(15)

令Y(t)=X(t)+F(t,T)-G(t)，可以把前面的最优化问题转化为一个单一的投资问题，将Y(t)微分如下：

(16)

其中:

(17)

2.2 求解辅助问题

(18)

由极值的一阶条件，可以解出：

(19)

把式(19)带入到HJB方程(18)中，可以得到：

(20)

假设值函数V(t,r,y,l)具有下列形式：

计算可得值函数V(t,r,y,l)的各阶偏导数如下：

Vt=V(t,r,y,l)(-qyAt+Br),Vy=V(t,r,y,l)(-qA),Vyy=V(t,r,y,l)(-qA)2

Vr=V(t,r,y,l)(-qyAr+Br),Vrr=V(t,r,y,l)(-qyAr+Br)2+V(t,r,y,l)(-qyArr+Brr)

Vyr=V(t,r,y,l)(-qyAr)-V(t,r,y,l),qA(-qyAr+Br),Vl=V(t,r,y,l)Bl

Vyl=-V(t,r,y,l)qBl,Vll=V(t,r,y,l)Bl+V(t,r,y,l)Bll

(21)

把式(21)的各阶偏导数代入方程(20)中可得：

(22)

消除对y的依赖，上式可分解为两个方程：

(23)

(24)

方程(23)的解可表达为引理1.

引理1： 假设方程(23)的解的形式为为A(t,r)=eD1(t)+rD2(t)，其边界条件为D1(T)=D2(T)=0，则D1(t)、D2(t)式分别由式(33)、(32)所确定.

证明：A(t,r)=eD1(t)+rD2(t)的各阶偏导数如下：

把上述各阶偏导数代入到式(23)可得：

可得：

(25)

(26)

式(25)可以写作：

(27)

Δ=(b-λ2k1)2+2k1>0

(28)

所以方程有两个不相等的实数根和：

(29)

(30)

方程(28)进一步可得：

(31)

解得：

(32)

进一步可得：

(33)

证毕.

方程(24)的求解过程可表达为引理2

引理2： 假设方程(24)的解为B(t,r,l)=D3(t)+rD4(t)+lD5(t)，其边界条件为D3(T)=D4(T)=D5(T)=0，则有D3(t)、D4(t)、D5(t)分别为：

证明：B(t,r,l)=D3(t)+rD4(t)+lD5(t)的各阶偏导数如下：

把上述各阶偏导数代入到式(24)可得：

可得：

(34)

(35)

(36)

解得：

(37)

(38)

(39)

证毕.

进一步可得

(40)

综上所述，指数效用函数下问题(17)的最优投资策略可总结为：

(41)

其中:A=A(t,r)=eD1(t)+rD2(t)，且D1(t)、D2(t)、D4(t)、D5(t)分别由式(33)、(32)、(37)、(38)给出.

3 算例分析

为了解释本文所得结论，给出如下算例分析，分别分析参数q，k1和σL对最优投资策略的影响.假设市场参数取值为[13]：a=0.018 712，b=0.2339，k1=0.007 293 16，k2=0.001 5，r0=0.05λr=1，S=0.02，v=1.5，α=0.03，δ=0.04 ，δ=0.03，l0=0.02，t=0，K=20，T=40，u=0.02，x0=1.

将上述参数值代入式(41)，可得如下计算结果.

表1 参数q对最优投资策略的影响

表2 参数k1对最优投资策略的影响

表3 参数σL对最优投资策略的影响

4 结 语

本文在Guan和Liang模型基础上进一步对指数效用函数下的最优投资策略进行了研究，运用动态规划原理和HJB方程得到了最优投资策略的显示表达式，并给出算例分析了参数对最优投资策略的显示解.

[1] BOULIER J F, HUANG S J, TAILLARD G. Optimal management under stochastic interest rates: The case of a protected defined contribution pension fund [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2001, 28(1): 173-189.

[2] DEELSTRA G, GRASSELLI M, KOEHL P F. Optimal investment strategies in the presence of a minimum guarantee [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2003, 33(1): 189-207.

[3] 张初兵，荣喜民. 仿射利率模型下确定缴费型养老金的最优投资[J]. 系统工程理论与实践, 2012, 32(5): 1048-1056.

[4] 殷 俊, 李媛媛. 基于随机利率和通货膨胀的缴费确定型养老金计划最优资产配置策略[J]. 当代经济科学, 2013, 35(2): 11-20.

[5] COX J C. Note on option pricing I: constant elasticity of variance diffusions [D]. Stanford: Stanford University, 1975.

[6] XIAO J W, ZHAI H, QIN C L. The constant elasticity of variance (CEV) model and the Legendre transform-dual solution for annuity contracts [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2007, 40(2): 302-310.

[7] GAO J. Optimal portfolios for DC pension plans under a CEV model [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 44(3): 479-490.

[8] 张初兵, 荣喜民, 常 浩. CEV模型下有随机工资DC型养老金的最优投资[J].工程数学学报, 2013, 30(1): 1-9.

[9] 林 祥，杨益非. Heston随机方差模型下确定缴费型养老金的最优投资[J]. 应用数学, 2010, 23(2): 413-418.

[10] 张初兵, 荣喜民, 侯如靖, 等. Heston模型下确定缴费型养老金的投资组合优化[J]. 系统工程, 2012, 30(1): 39-44.

[11] 肖建武. 待遇预定制养老基金管理的Heston模型及Legendre变换-对偶决策[J]. 系统工程, 2014, 32(7): 149-153.

[12] GRZELAK L, OOSTERLEE K. On the Heston model with stochastic interest rates [J]. SIAM Journal on Financial Mathematics,2010,2(1): 255-286.

[13] GUAN G H, LIANG Z X. Optimal management of DC pension plan in a stochastic interest rates and stochastic volatility framework [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2014, 57(1): 58-66.

[14] HAN N W, HUNG M W. Optimal asset allocation for DC pension plans under inflation [J]. Insurance Mathematics and Economics, 2012, 51(1): 172-181.

DC pension fund with minimum guarantee in stochastic environments

ZHENG Xiao-shan, FAN Shun-hou

(School of Science, Tianjin Polytechnic University, Tianjin 300387, China)

The DC pension fund with minimum guarantee in a stochastic affine interest rate and stochastic volatility framework were studied. In this model, interest rate was supposed be driven by affine interest rate model, while stock price was governed by Heston’s stochastic volatility model. The pension fund was allowed to be invested in a risk-free asset, a convertible bond and a risky asset. Using dynamic programming theory, obtained the closed-form solutions to the optimal investment strategies for exponential utility. A numerical example was provided to illustrate the effect of market parameters on the optimal policies.

defined contribution pension; affine interest rate model; Heston’s model; optimal investment strategies; exponential utility

2016-06-06.

郑小珊(1990-)，女，硕士，研究方向：养老金投资与风险管理.

F224

A

1672-0946(2017)02-0235-07