同一树枝上的两片树叶

编者按：不识庐山真面目，只缘身在此山中。苏轼的诗同学们一定很熟悉吧。而当代学者侯外庐则说“不识庐山真面目，只缘身在此山外”。欲识庐山真面目，那到底是应“在此山中”还是应“在此山外”呢？实际上，要识庐山真面目，既要“在此山中”还要“在此山外”。这实际上就相当于物理中的分析和综合的思维方法。物理思维方法对物理具有重要意义，大家都听说过物理难学，但只要掌握了物理思维方法，物理就不难学了。物理中还有归纳和演绎等多种思维方法，我们邀请王书义等老师为同学们讲解一系列物理思维方法，本期主要谈数学和物理的关系，请同学们认真读一读哟，你会大有收获的！

从初中升入高中，有些同学学习物理时感到了困难，原因之一是与初中物理相比较，高中物理定量研究的比例大大增加，运用了更多的数学知识。这就涉及数学和物理的关系问题，下面和同学们详细谈谈这一问题。文中有些关于数学史和物理学史的内容，以及所选用的例题，高一同学可能还没有学到，但这不妨碍对文章精神的理解。

一、数学的抽象性和现实性

1.什么是数学？

数学是研究事物的数量关系和空间形式的一门科学，包括算术、代数（以字母代替数以研究更普遍的数的规律）、几何、三角、解析几何、数学分析等。（数学的定义不唯一，20世纪初诞生的数学分支数理逻辑，既没有数，也没有形，不能归入以上定义，在这里我们姑且用此定义来说明问题吧）

2.数学的抽象性和现实性。

数学是怎样产生的呢？大家知道3片树叶加上2片树叶是5片树叶，3枚鸡蛋加上2枚鸡蛋是5枚鸡蛋，3只羊加上2只羊是5只羊……。人们撇开树叶、鸡蛋、羊……这些事物的特性（具象）如形状、构造、颜色等，而提炼、结晶（抽象）出其中的“数”的规律（概念）：3个东西加上2个同样的东西得到5个这样的东西，即3+2=5，这就是数学。有了“3+2=5”，那么3朵花加上2朵花我们就知道是5朵花，3尾鱼加上2尾鱼我们就知道是5尾鱼。这样，从实践中认识、总结出的“数学”，作为工具、手段又回到现实中去，指导、帮助人们进行科学研究和生产实践。

又如：从太阳、月亮、车等具体事物的“形”中，得到了“圆”的概念，认识到圆的性质，并进一步加以运用。

总之，数学是从现实生活、生产实践中抽象出来的。抽象是相对具象而言，它脱离了具体事物的质的方面的内容，而保留了量和形方面的规律。掌握了这些规律，就可以研究更多的具体事物，这就是它的现实性。数学的抽象性和现实性是科学的统一。

3.数学的高度抽象性和广泛现实性是其他任何学科所不能比拟的。

数学的发展有两个侧面，或者说有两条途径（只是途径不是源头），一是归纳抽象，一是极其严密的演绎推理。以歐氏几何为例，它不只是从具体到一般的归纳抽象的过程，更是一种演绎的结晶，它在为数极少的几条公理的基础上，推演出一整套几何理论，构成了一个巨大的几何学科体系。这种推演的过程有时使它暂时脱离了它赖以产生和发展的现实，使人们看不到现实，以至于数学研究中的一些新的发现、新的成就使数学家也感到迷茫，感到虚无缥缈。这时数学还有现实性吗？

让我们回顾一下数的发展简史。

2.数学为物理提供计算工具，把知识和技术的精确化提高到了惊人的程度。如遥控发往几千千米处的导弹，准确操纵宇宙飞船与空间站空间对接，成功预报星体碰撞等。在微观领域内，用数学计算出的理论值与实际的测量值可以在10位有效数字内完全相同。这不能不令人惊叹数学的神威。

3.科学预言。

运用数学潜在的巨大的逻辑力量，经过严密的推理运算，能从基本原理演绎出许多重要的结论或作出惊人的预言。

麦克斯韦从他的一组电磁场方程，以自己独到的数学证明，预言了电磁波的存在并预言了它的传播速度，后来被赫兹用实验证实；玻尔根据当时精确测出的氢光谱四条谱线的波长的数值，神奇地找到了氢原子从一个定态跃迁到另一个定态时产生辐射的频率公式，成功地解释了氢光谱的规律，并据此预言了当时尚未发现的谱线系。这些成就，无不显示出数学强大的逻辑力量。

4.科学史上许多伟大的物理学家往往也是著名的数学家，如阿基米德、开普勒、麦克斯韦、牛顿等。

阿基米德用严密的逻辑方法得出了杠杆原理和浮力定律（不只是实验）；开普勒在第谷几十年积累的、数量惊人的、精确的天文观测记录的基础上运用数学的理性思维得出了行星运动三定律；麦克斯韦用数学奠定了经典电磁理论基础；牛顿用微积分建立了经典力学系统……

综上所述，行星运动定律，毕其功者是开普勒，而不是几十年观测积累浩繁数据的第谷；经典电磁理论创立者是麦克斯韦，而不是十年磨一剑，发现电磁感应现象的法拉第……这几项在人类科学史上有着划时代意义的成就，主要源于开普勒、麦克斯韦过人的聪明的数学头脑和他们在数学领域的影响深远的造诣。

（未完待续）

（责任编辑 赵平）