基于MATLAB的一类生态数学模型的建模仿真

席伟

摘要：围绕野生生物保护区的生态数学模型，利用MATLAB的OBE绘图器pplane，得到了此类生态模型的临界点、相轨线、积分曲线，并且利用MATLABsimulink系统实现了此类生态系统模型的仿真设计，最后给出了OBE软件的图形结果及simulink的仿真结果，对推动此类生态模型在具体实践中的应用和普及，具有实际意义。

关键词：生态数学模型；OBE；Simulink；建模仿真

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（201 6）29-0193-02

1微分方程组稳定性与相平面概述

自然世界中很多现象是以二维一阶微分方程组作为模型的，即

微分方程的稳定性理论由俄国数学家李雅普诺夫创立，通过构造李雅普诺夫函数，然后判断李雅普诺夫函数V（x）及dV/dt的符号就可以判断出临界点的稳定性。同时法国数学家庞加莱创建了微分方程的定性理论，通过构建微分方程的相平面、相轨线、平衡解来分析在平衡点附近的微分方程的相轨线的变化趋势，这些理论构成了微分方程的定性与稳定性理论，是微分方程的主要发展方向。

2基于MATLAB的oBE软件与Simulink仿真系统概述

微分自治系统（1.1）的方向场及相轨线可以由OBE软件画出，本文使用的是JohnPolking建立的基于MATLAB的pplane程序，这个程序可以免费使用（math.rice.edu/-dfield），pplane程序界面如图1所示。

通过pplane软件将微分自治系统输入到The differentialequatioits，然后在The display window输入x，y的取值范围，点击proceed按钮得到相应微分系统的向量场，并且可以在向量场中选定初值点得到对应的相轨线，而且pplane软件可以求解出微分自治系统的平衡点，程序運行结果如图2所示。

自治微分系统（1）可以通过Simulink系统和仿真环境得到相应的积分曲线，Simulink是目前仿真领域首选的计算机环境。Simulink系统具有丰富的模块库：连续模块、非连续模块、离散模块、逻辑模块、数学模块信号路线模块等，通过这些模块库可以容易的建立所要研究的系统框图，通过执行系统框图就可以得到相应系统的仿真结果。Simulink系统仿真结构框图如图3所示，仿真结果如图4所示。

3野生生物保护区生态数学模型的建模与仿真

某大型野生生物保护区，现有x₀只山羊和y₀只老虎，t个月后，山羊的数量x（t）和老虎的数量y（t）满足自治微分系统：

（2）

利用MATLAB OBE软件pplane可以画出生态系统（图5）的向量场和相轨线以及临界点，如图5、图6所示，画出了三条相轨线，分别过初值点（1000，4000），（800，3000），（600，1500），且给出了临界点f300，5001，临界点附近的相轨线均为闭轨线，从而可以分析出老虎与山羊的数量将会周期变化，并且临界点（300，500）是稳定的平衡解，但不是渐进稳定的。

利用Simulink仿真系统可以给出生态系统（图5）的结构框图及建模仿真结果图，如图7、图8所示，给出了经过初值点（1000，4000）的仿真结果图，从仿真结果曲线可以看出老虎与山羊的数量变化周期是200（月），山羊数量的最大值是1800只，第一次出现时间是170（月），老虎数量的最大值是5000只，第一次出现的时间是180（月）。

4结论

本文利用MATLAB OBE软件pplane及Simulink仿真系统讨论了一类生态系统模型，给出了此类生态系统的向量场、典型的相轨线、临界点，同时也给出了此类生态系统的Simulink结构框图和系统仿真图，并且分析得到了此类生态系统的循环周期、最大值等结论，实例表明MATLAB的pplane软件与Simu-link仿真系统在生态系统建模仿真问题上有着重要的应用价值。