空泡附加质量建模的改进

张晓东

（海军装备部，北京 100841）

空泡附加质量建模的改进

张晓东

（海军装备部，北京 100841）

基于通过实验检验过的圆盘表面速度分布估算公式，对圆盘空泡附加质量的数学模型进行了改进，给出了更精确的空化圆盘附加质量计算公式，分析了原线性速度分布假设下的计算公式的准确性，建立了带两个空泡的航行体附加质量计算模型。改进的模型不仅反映了带空泡航行体的附加质量变化规律，而且因为模型是建立在实验数据基础上，所以可靠性更高。

水下物体；空泡；附加质量

0 引 言

不带空泡的水下运动物体的附加质量仅仅与物体外形有关，是一个常数，因此在计算物体非定常水动力时非常方便。但是当水下运动物体的速度较高时，物体表面将出现空泡，空泡极大地改变了物体周围的流场，使得物体的附加质量也发生了改变，尤其关键的是，空泡是一个自由面，当物体做非定常运动时，空泡外形也在不断改变，这使得带空泡物体的附加质量也会发生变化，因此对带空泡物体，传统的附加质量计算方法不再适用，而且试验研究也比较困难。但是在工程上，还是希望能有一个较为简单的计算公式，所以对空泡附加质量建模是一件有意义的研究工作。陈玮琪[1]基于空泡独立膨胀原理[2-5]和细长体空泡的经验关系，对轴对称空泡附加质量进行了理论建模，分析了空泡尾部不同闭合方式对空泡附加质量的影响。特别是，陈玮琪在文献[1]中区分了对待空泡附加质量的两种观点：一种是把空泡本身作为物体的一部分，讨论了带空泡物体的附加质量；另一种是仅仅考虑物体本身，而把空泡作为流场的一部分，讨论了物体在空泡流场作用下的附加质量。这两种观点都有意义，第一种观点有助于理解空泡的存在对附加质量的影响机理，第二种观点有助于理解物体在空泡流场中的受力规律。文献[1]对第一种观点下的空泡附加质量讨论得较为详尽，给出了不同形式的近似估计式，对第二种观点下的附加质量，只给出了空化器表面速度线性分布假设下的附加质量估计式。但是线性速度假设略为简化，并且没有得到试验检验。考虑到在空化器表面流场速度的梯度变化比较大，因此需要进一步改进速度分布的估算方法，并由此得到更为准确的附加质量估计式。

1 数学模型

以圆盘空化器轴对称空泡流动作为研究对象，见图1。

空化器空化后，在空泡尾流区域外，假设流场是无粘、无旋和不可压的理想流场，速度势为φ，远处来流压力为P∞，空泡压力为Pc。设空化器和空泡结合在一起的组合体在x方向的附加质量为λ，则在轴对称流体条件下，有下式成立：

图1 圆盘空化器的轴对称空泡Fig.1 A schematic of an axisymmetric cavity in a flow pasta disk

式中：SH=πR表示圆盘表面，Sc是空泡表面。上式最右边两项中的第一项是速度势在空化器表面上的积分，根据文献[1]，空化器本身的附加质量λc按如下定义：

其物理含义可如此理解：如果将速度势理解为冲量，则空化器表面上冲量积分的变化率，就是与空化器本身附加质量相联系的非定常流体动力。

现在估算圆盘表面的速度势φ。已知空泡外形可以由空泡截面独立膨胀原理[3]得到，

其中：对于定常空泡，以下经验关系式成立：

其中：S（t）是任意一个空泡截面的面积，L是空泡长度，ΔP=P∞-Pc是压差，空化数σ=ΔP/0.5ρV2，Cx为空化器阻力且有Cx=Cx0（1+σ），对于圆盘空化器，Cx0=0.82。

注意，φH是空化器边缘速度势，因此如果能得到流体沿圆盘表面的速度分布u（r），就能根据速度势的表达式

计算出空化器表面任意半径r位置处的速度势。

2 速度分布估算

首先考察文献[1]对速度分布进行线性假设的方法。经验表明，靠近空化器附近x≤2RH处，空泡外形接近于一个三次抛物线

因此在靠近空化器边缘，空泡曲面的切线斜率为

空化器空化后，空泡表面的流体相对速度为Vk=，因此空化器边缘与空化器表面平行的流体相对速度分量为sinα，由公式（9）可以得到tgα＝1，即

在空化器中心，平行空化器表面的绝对速度分量为0，因此，如果假设从圆盘中心r=0到圆盘边缘r=RH的绝对平行速度分量为线性关系，则有

将（10）式代入（7）式即可计算出空化器表面的速度势，再代入（1）式积分，就可求出空化器的附加质量

这是文献[1]的思想。

从以上分析可以看出，λc的准确程度取决于速度分布u（r）的准确程度，对u（r）的更好估计可以在文献[5]中找到：假设速度分布函数u（r）仅取决于圆盘上的位置半径r而与空化数σ无关，则可将速度分布近似表示为抛物线形式

3 空化器的附加质量

利用（12）式作为圆盘表面速度分布的估算公式，无疑要更为精确，将之代入（7）式中，即可计算出圆盘表面的速度势

基于（6）式和（13）式，就可以计算空化器的附加质量了。将之代入（1）式，得到

将n=4.55代入其中，整理得到

对比文献[1]中线性假设下的附加质量公式（11）可看出，两者的表达式完全相同，只是项前面的常系数略有差异，线性速度假设下是0.177，而本文是0.162，因此线性假设计算的附加质量略偏大。

对于无界流中的空化圆盘，常系数a≈1.5[2]，因此当空化数σ→0时，公式（11）和公式（15）计算结果的相对误差为

由此可看出，线性假设还是相当准确的。

4 空化器和空泡组合体的附加质量

文献[1]给出了空泡尾部以镜像平板封闭的细长体空泡（见图2）附加质量为

其中：系数K=λc/ρφHSH是空化器的附加质量系数。

今采用（12）式速度分布，故需将（15）式代入（17）式中得到空化器加空泡组合体附加质量为

图2 镜像对称空泡Fig.2 A schematic of amirror symmetric cavity

5 带头空泡和尾空泡的航行体附加质量

水下高速航行体有可能在头部和尾部都产生空泡，见图3。要计算它的弹道，就必须要考虑航行体带空泡的附加质量。这里将空泡视为航行体的一部分，因此应考虑空泡+航行体的组合体的附加质量。

图3 水下带空泡航行体Fig.3 A cavity body underwater

为简化起见，这里假设头空泡和尾空泡相距较远不发生相互影响，因此这两个空泡都可近似为椭球，但是两个空泡的空化数和对应的阻力系数不一定相同，见图3中的标志。注意图中全湿流部分的速度势面积分为0，对轴向附加质量没有影响，可以不用考虑。因此带空泡航行体的附加质量可视为两个空泡附加质量之和。

但是，这里还不能直接利用公式（18）来计算头部空泡的附加质量，其原因是头空泡闭合在航行体上，因此不存在空泡尾部闭合面的速度势积分（参见图2），也就是说，在公式（18）中要扣除镜像平板上的速度势积分，考虑到镜像平板对称性，航行体上头空泡附加质量应为

类似地，尾部空泡的前部也没有表面积分项，因此其附加质量为

这里RL是尾空泡封闭面的半径。两者之和即得到带空泡航行体的附加质量估计值

如果RL=RH，σ′=σ，则有

其中：（Cx+Cx′）相当于带空泡航行体的总的阻力系数，可对比（18）式。

6 结 论

基于文献[1]的空泡附加质量建模思想，采用通过实验检验过的圆盘表面速度分布经验关系式代替原线性速度分布假设，建立了空泡附加质量的更为精确的数学模型。在头空泡与尾空泡相互不干扰的条件下，建立了平头圆柱水下航行体带头空泡和尾空泡的轴向附加质量估算方法以用于弹道工程计算。后续将考虑空泡干扰条件下的空泡附加质量建模方法。

[1]陈玮琪,王宝寿.空泡附加质量的理论建模[C]//2012优秀学术论文集,中国造船工程学会.北京,2013.

[2]Vasin A D.The principle of independence of the cavity sections expansion(Logvinovich’s principle)as the basis for investigation on cavitation flows[C].RTO AVT Lecture Series on Supercavitating Flows,2001.

[3]Serebryakow V V.Problems of hydrodynamics for high speed motion in water with supercavitation[C]//Sixth International Symposium on Cavitation(CAV2006).Wageningen,The Netheriands,2006.

[4]Serebryakow V V.Physical-mathematical bases of the principle of independence of cavity expansion[C]//Proceedings of the 7th international Symposium of Cavitation(CAV2009).Michigan,USA,2009:169.

[5]Logvinovich G V.Hydrodynamics of Free-Boundary Flows[M].Naukova Dumka,Kiev,Ukraine;translated from the Russian by the Israel Program for Scientific Translations,Jerusalem(1972),1969.

Im proved model of added mass of cavity body

ZHANG Xiao-dong
(Navy Equipment Department,Beijing 100081,China)

Themathematicalmodel of added mass of cavitating disk is improved based on an experimentally-verified estimated velocity distribution on the surface of the disk.A more accurate added mass calculating formula is given for cavitating disk and the accuracy of the primary calculating formula under the linear hypothesis is analyzed.Finally,an added massmodel for underwater body with two attached cavities is proposed.The improved model shows the varying law of the added mass of cavity body,furthermore,it is more reliable due to using experimental data.

underwater body;cavitation;addedmass

0302 0352

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.02.002

2016-10-13

张晓东（1971-），男，高级工程师，E-mail:bluewing729@sina.com。

1007-7294（2017）02-0138-05